Cómo simplificar fracciones

Este artículo es una guía completa sobre simplificación de fracciones hasta su mínima expresión con diferentes métodos explicados y ejercicios resueltos paso a paso.

¿Qué es simplificar una fracción?

Simplificar una fracción es un proceso que consiste en reducir una fracción a una forma más simple, manteniendo el mismo valor numérico, pero utilizando números más pequeños. En otras palabras, simplificar es hallar una fracción equivalente con numerador y denominadores más chicos.

Una forma de simplificación es aquella que se realiza hasta obtener la mínima expresión de una fracción, es decir, la fracción irreducible que no es posible simplificar más, pues numerador y denominador no tienen divisores comunes. En este artículo nos enfocaremos en este tipo de reducción.

La simplificación nos sirve para comparar y operar con fracciones de forma más fácil, ya que se obtienen términos más pequeños.

Calculadora

Con la siguiente calculadora podrás comprobar si tu simplificación fue correcta. Solo escribe la fracción que deseas reducir y presiona "Simplificar".

Formas de simplificar fracciones

Existen varios métodos para simplificar fracciones, entre ellos están la reducción por pasos, la descomposición en factores primos y la división por el máximo común divisor. Veremos las tres a continuación. Es importante practicar los diferentes métodos para familiarizarse con ellos.

Reducción por pasos

Es conveniente empezar a probando por los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, 11, … Es decir, intentaremos dividir numerador y denominador entre 2, si se puede, habremos encontrado una fracción más simple que la anterior. Luego volvemos a probar a dividir por 2, si no se puede, pasamos al 3, y así hasta que ya no se pueda dividir más.

Ejemplo 1: *\dfrac{12}{18}*

La fracción se puede simplificar dividiendo el numerador y el denominador entre 2, pues es divisor de ambos:

*\dfrac{12:2}{18:2}=\dfrac{6}{9}*

La fracción obtenida es equivalente a la anterior, pero su numerador y denominador son más pequeños. Podemos seguir simplificando, pero dividiendo ahora entre 3, pues es divisor común:

*\dfrac{6:3}{9:3}=\dfrac{2}{3}*

Obtuvimos otra fracción equivalente, pero no es posible simplificar más porque no existe número entero aparte del 1 que pueda dividir al 2 y al 3 al mismo tiempo.

Ejemplo 2: *\dfrac{12}{16}*

Los términos de la fracción tienen como divisor común al 2, podemos simplificar usando ese dato:

*\dfrac{12:2}{16:2}=\dfrac{6}{8}*

Es posible seguir simplificando, dividiendo otra vez entre 2:

*\dfrac{6:2}{8:2}=\dfrac{3}{4}*

En este punto no es posible seguir simplificando porque no hay divisores comunes. Se dice entonces que la fracción está en su mínima expresión.

Ejemplo 3: *\dfrac{135}{225}*

El numerador y el denominador terminan en 5, lo cual nos da la pista de que ambos son divisibles por cinco:

*\dfrac{135:5}{225:5}=\dfrac{27}{45}*

Ahora, probamos dividir entre 2, pero no se puede. Intentamos con el 3 y sí se puede:

*\dfrac{27:3}{45:3}=\dfrac{9}{15}*

Volvemos a intentar dividir ente 3:

*\dfrac{9:3}{15:3}=\dfrac{3}{5}*

Ahora la fracción no se puede seguir simplificando, hemos encontrado la forma más simple. Es importante destacar que una vez que hemos descartado un posible divisor, no debemos volver a intentar dividir entre él. En nuestro caso, no sería útil probar nuevamente dividir entre 2 después de que no funcionara.

Ejemplo 4: *\dfrac{45000}{100}*

En este caso el numerador y denominador terminan en ceros. Podemos empezar quitando los ceros comunes a ambos. El numerador tiene tres ceros, el denominador tiene dos, así que podemos remover dos ceros y la expresión será equivalente:

*\dfrac{45000}{100}=\dfrac{450}{1}=450*

En este punto, no podemos simplificar más, y nos ha quedado un número entero. Otra forma de ver el procedimiento anterior sería dividir numerador y denominador entre 100:

*\dfrac{45000:100}{100:100}=\dfrac{450}{1}=450*

Descomposición del numerador y denominador

Ejemplo 1: *\dfrac{105}{210}*

Comenzamos descomponiendo el numerador y el denominador en sus factores primos:

*\dfrac{105}{210}=\dfrac{3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 5\cdot 3\cdot 7}*

Identificamos que 3, 5 y 7 son factores comunes a ambos términos. Procedemos a cancelarlos para obtener la fracción irreducible. En el numerador quedará solo un 1:

*\dfrac{\cancel{3}\cdot \cancel{5}\cdot \cancel{7}}{2\cdot \cancel{5}\cdot \cancel{3}\cdot \cancel{7}}=\dfrac{1}{2}*

Ejemplo 2: *\dfrac{28}{10}*

Factorizamos el numerador y el denominador:

*\dfrac{28}{10}=\dfrac{2\cdot 2\cdot 7}{2\cdot 5}*

Localizamos al 2 como el único factor que se repite. Como en el denominador solo hay un 2, solo ese se cancelará con uno de los de arriba.

*\dfrac{\cancel{2}\cdot 2\cdot 7}{\cancel{2}\cdot 5}=\dfrac{14}{5}*

Esta última fracción es el equivalente irreducible de la original.

Ejemplo 3: *\dfrac{120}{30}*

Factorizamos los términos de la fracción:

*\dfrac{120}{30}=\dfrac{2\cdot 2\cdot 3\cdot 5}{5\cdot 3\cdot 2}*

Identificamos a 2, 3 y 5 como factores comunes a ambos términos. Los cancelamos para obtener la expresión más simple:

*\dfrac{\cancel{2}\cdot 2\cdot \cancel{3}\cdot \cancel{5}}{\cancel{5}\cdot \cancel{3}\cdot \cancel{2}}=2*

División por el máximo común divisor

Con la siguiente calculadora podrás obtener rápidamente el Máximo Común Divisor (MCD) entre dos o más números:

Ejemplo 1: *\dfrac{36}{30}*

Calculamos el máximo común divisor del numerador y el denominador.

1) Descomponemos el numerador y el denominador en factores primos:

*36=2^2\cdot 3^2*

*30=2\cdot 3\cdot 5*

2) Seleccionamos los factores que se repiten con el menor exponente posible, ellos son *2* y *3.*

3) Multiplicamos los números del paso anterior, el cual será elMCD de los números:

*MCD(36,30)=2\cdot 3=6*

Teniendo este número, simplificamos dividiendo numerador y denominador entre él y obtenemos la forma más simple:

*\dfrac{36:6}{30:6}=\dfrac{6}{5}*

Ejemplo 2: *\dfrac{105}{245}*

Calculamos el máximo común divisor de los términos de la fracción:

*105=7\cdot 5\cdot 3*

*245=7^2\cdot 5^2*

*MCD(105,245)=7\cdot 5=35*

Dividimos numerador y denominador entre el número encontrado para hallar la fracción irreducible:

*\dfrac{105:35}{245:35}=\dfrac{3}{7}*

Ejemplo 3: *\dfrac{420}{270}*

Calculamos el máximo común división de los términos de la fracción:

*420=7\cdot 2^2\cdot 3\cdot 5*

*270=3^3\cdot 2\cdot 5*

*MCD(420, 270)=2\cdot 3\cdot 5=30*

Ahora dividimos numerador y denominador entre el máximo común divisor obtenido:

*\dfrac{420:30}{270:30}=\dfrac{14}{9}*

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