Cómo simplificar fracciones

Este artículo es una guía completa sobre cómo simplificar fracciones hasta su mínima expresión con diferentes métodos explicados y ejercicios resueltos paso a paso.

¿Qué es simplificar una fracción?

Simplificar una fracción es un proceso que consiste en reducir una fracción a una forma más simple, manteniendo el mismo valor numérico, pero utilizando números más pequeños. En otras palabras, simplificar es hallar una fracción equivalente con numerador y denominadores más chicos.

Una forma de simplificación es aquella que se realiza hasta obtener la mínima expresión de una fracción, es decir, la fracción irreducible que no es posible simplificar más, pues numerador y denominador no tienen divisores comunes. En este artículo nos enfocaremos en este tipo de reducción.

La simplificación nos sirve para comparar y operar con fracciones de forma más fácil, ya que se obtienen términos más pequeños.

Calculadora

Con la siguiente calculadora podrás comprobar si tu simplificación fue correcta. Solo escribe la fracción que deseas reducir y presiona "Simplificar".

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Formas de simplificar fracciones

Existen varios métodos para simplificar fracciones, entre ellos están la reducción por pasos, la descomposición en factores primos y la división por el máximo común divisor. Veremos las tres a continuación. Es importante practicar los diferentes métodos para familiarizarse con ellos.

Reducción por pasos

Este método consiste en los siguientes pasos:

  1. Buscar el mayor número que divida al numerador y al denominador dejando resto cero.
  2. Dividir el numerador y el denominador por ese número.
  3. Repetir el proceso hasta que no se pueda dividir más, el resultado será la fracción simplificada.

Es conveniente empezar a probando por los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, 11, … Es decir, intentaremos dividir numerador y denominador entre 2, si se puede, habremos encontrado una fracción más simple que la anterior. Luego volvemos a probar a dividir por 2, si no se puede, pasamos al 3, y así hasta que ya no se pueda dividir más.

Ejemplo 1: *\dfrac{12}{18}*

La fracción se puede simplificar dividiendo el numerador y el denominador entre 2, pues es divisor de ambos:

*\dfrac{12:2}{18:2}=\dfrac{6}{9}*

La fracción obtenida es equivalente a la anterior, pero su numerador y denominador son más pequeños. Podemos seguir simplificando, pero dividiendo ahora entre 3, pues es divisor común:

*\dfrac{6:3}{9:3}=\dfrac{2}{3}*

Obtuvimos otra fracción equivalente, pero no es posible simplificar más porque no existe número entero aparte del 1 que pueda dividir al 2 y al 3 al mismo tiempo.

Ejemplo 2: *\dfrac{12}{16}*

Los términos de la fracción tienen como divisor común al 2, podemos simplificar usando ese dato:

*\dfrac{12:2}{16:2}=\dfrac{6}{8}*

Es posible seguir simplificando, dividiendo otra vez entre 2:

*\dfrac{6:2}{8:2}=\dfrac{3}{4}*

En este punto no es posible seguir simplificando porque no hay divisores comunes. Se dice entonces que la fracción está en su mínima expresión.

Ejemplo 3: *\dfrac{135}{225}*

El numerador y el denominador terminan en 5, lo cual nos da la pista de que ambos son divisibles por cinco:

*\dfrac{135:5}{225:5}=\dfrac{27}{45}*

Ahora, probamos dividir entre 2, pero no se puede. Intentamos con el 3 y sí se puede:

*\dfrac{27:3}{45:3}=\dfrac{9}{15}*

Volvemos a intentar dividir ente 3:

*\dfrac{9:3}{15:3}=\dfrac{3}{5}*

Ahora la fracción no se puede seguir simplificando, hemos encontrado la forma más simple. Es importante destacar que una vez que hemos descartado un posible divisor, no debemos volver a intentar dividir entre él. En nuestro caso, no sería útil probar nuevamente dividir entre 2 después de que no funcionara.

Ejemplo 4: *\dfrac{45000}{100}*

En este caso el numerador y denominador terminan en ceros. Podemos empezar quitando los ceros comunes a ambos. El numerador tiene tres ceros, el denominador tiene dos, así que podemos remover dos ceros y la expresión será equivalente:

*\dfrac{45000}{100}=\dfrac{450}{1}=450*

En este punto, no podemos simplificar más, y nos ha quedado un número entero. Otra forma de ver el procedimiento anterior sería dividir numerador y denominador entre 100:

*\dfrac{45000:100}{100:100}=\dfrac{450}{1}=450*

Ejercicio para practicar: simplificar las siguientes fracciones hasta su mínima expresión usando la reducción por pasos.

  1. *~\dfrac{24}{36}*
  2. *~\dfrac{15}{25}*
  3. *~\dfrac{60}{90}*

Soluciones:

  1. *~\dfrac{2}{3}*
  2. *~\dfrac{3}{5}*
  3. *~\dfrac{2}{3}*

Descomposición del numerador y denominador

Este método consiste en:

  1. Descomponer el numerador y el denominador en sus factores primos.
  2. Identificar y eliminar los factores comunes que aparecen en el numerador y el denominador.
  3. Multiplicar los factores restantes para obtener la fracción simplificada.

Ejemplo 1: *\dfrac{105}{210}*

Comenzamos descomponiendo el numerador y el denominador en sus factores primos:

*\dfrac{105}{210}=\dfrac{3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 5\cdot 3\cdot 7}*

Identificamos que 3, 5 y 7 son factores comunes a ambos términos. Procedemos a cancelarlos para obtener la fracción irreducible. En el numerador quedará solo un 1:

*\dfrac{\cancel{3}\cdot \cancel{5}\cdot \cancel{7}}{2\cdot \cancel{5}\cdot \cancel{3}\cdot \cancel{7}}=\dfrac{1}{2}*

Ejemplo 2: *\dfrac{28}{10}*

Factorizamos el numerador y el denominador:

*\dfrac{28}{10}=\dfrac{2\cdot 2\cdot 7}{2\cdot 5}*

Localizamos al 2 como el único factor que se repite. Como en el denominador solo hay un 2, solo ese se cancelará con uno de los de arriba.

*\dfrac{\cancel{2}\cdot 2\cdot 7}{\cancel{2}\cdot 5}=\dfrac{14}{5}*

Esta última fracción es el equivalente irreducible de la original.

Ejemplo 3: *\dfrac{120}{30}*

Factorizamos los términos de la fracción:

*\dfrac{120}{30}=\dfrac{2\cdot 2\cdot 3\cdot 5}{5\cdot 3\cdot 2}*

Identificamos a 2, 3 y 5 como factores comunes a ambos términos. Los cancelamos para obtener la expresión más simple:

*\dfrac{\cancel{2}\cdot 2\cdot \cancel{3}\cdot \cancel{5}}{\cancel{5}\cdot \cancel{3}\cdot \cancel{2}}=2*

Ejercicio para practicar: reducir las siguientes fracciones a su forma más simple usando la descomposición.

  1. *~\dfrac{22}{44}*
  2. *~\dfrac{42}{56}*
  3. *~\dfrac{55}{110}*

Soluciones:

  1. *~\dfrac{1}{2}*
  2. *~\dfrac{3}{4}*
  3. *~\dfrac{1}{2}*

División por el máximo común divisor

Si el número por el que dividimos numerador y denominador es el máximo común divisor (MCD) de ambos, llegamos a una fracción irreducible de forma directa. En esto se basa el método, cuyos pasos son:

  1. Calcular el MCD del numerador y el denominador.
  2. Dividir el numerador y el denominador por el MCD, el resultado será la fracción simplificada.

Para calcular el máximo común divisor de dos números se siguen los siguientes pasos:

  1. Descomponer los números en factores primos.
  2. Elegir los factores comunes elevados al menor exponente.
  3. Multiplicar estos factores para obtener el MCD.

Con la siguiente calculadora podrás obtener rápidamente el Máximo Común Divisor (MCD) entre dos o más números:

Ejemplo 1: *\dfrac{36}{30}*

Calculamos el máximo común divisor del numerador y el denominador.

1) Descomponemos el numerador y el denominador en factores primos:

*36=2^2\cdot 3^2*

*30=2\cdot 3\cdot 5*

2) Seleccionamos los factores que se repiten con el menor exponente posible, ellos son *2* y *3.*

3) Multiplicamos los números del paso anterior, el cual será elMCD de los números:

*MCD(36,30)=2\cdot 3=6*

Teniendo este número, simplificamos dividiendo numerador y denominador entre él y obtenemos la forma más simple:

*\dfrac{36:6}{30:6}=\dfrac{6}{5}*

Ejemplo 2: *\dfrac{105}{245}*

Calculamos el máximo común divisor de los términos de la fracción:

*105=7\cdot 5\cdot 3*

*245=7^2\cdot 5^2*

*MCD(105,245)=7\cdot 5=35*

Dividimos numerador y denominador entre el número encontrado para hallar la fracción irreducible:

*\dfrac{105:35}{245:35}=\dfrac{3}{7}*

Ejemplo 3: *\dfrac{420}{270}*

Calculamos el máximo común división de los términos de la fracción:

*420=7\cdot 2^2\cdot 3\cdot 5*

*270=3^3\cdot 2\cdot 5*

*MCD(420, 270)=2\cdot 3\cdot 5=30*

Ahora dividimos numerador y denominador entre el máximo común divisor obtenido:

*\dfrac{420:30}{270:30}=\dfrac{14}{9}*

Ejercicio para practicar: simplificar las siguientes fracciones hasta su forma irreducible usando el máximo común divisor.

  1. *~\dfrac{88}{132}*
  2. *~\dfrac{42}{54}*
  3. *~\dfrac{10}{35}*

Soluciones:

  1. *~\dfrac{2}{3}*
  2. *~\dfrac{7}{9}*
  3. *~\dfrac{2}{7}*

Preguntas frecuentes

¿Cómo se simplifica una fracción?

Existen varios métodos para simplificar fracciones, entre ellos están:

1. Reducción por pasos: consiste en dividir el numerador y el denominador entre números primos varias veces hasta que ya no se pueda dividir más.

2. Descomposición en factores primos: consiste en factorizar el numerador y el denominador y cancelar los factores comunes.

3. División por el máximo común divisor: consiste en dividir el numerador y el denominador entre el MCD para obtener la fracción irreducible.

¿Cuándo se puede simplificar una fracción?

Se puede simplificar una fracción siempre que el numerador y el denominador tengan un divisor común distinto de 1. En otras palabras, si es posible dividir tanto el numerador como el denominador por un mismo número sin que quede un resto, entonces se puede simplificar la fracción.

¿Por qué es importante simplificar fracciones?

Simplificar fracciones es esencial porque reduce las expresiones matemáticas, facilitando su comprensión y cálculo. Además de hacer las operaciones más manejables, ayuda a evitar errores y permite una presentación más ordenada y clara de los resultados, tanto en contextos académicos como en aplicaciones prácticas en la vida diaria.

¿Cómo saber si una fracción está simplificada o no?

Para determinar si una fracción está simplificada o no, se debe verificar si el numerador y el denominador tienen factores comunes más allá de 1. Si esto ocurre, la fracción no está simplificada. Si no ocurre, la fracción está simplificada.

Qué es simplificar una fracción
Ejemplo de simplificación de fracciones
Ejemplo de simplificar una fracción hasta su mínima expresión

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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