Suma de fracciones
En este artículo explicamos la suma de fracciones con igual o distinto denominador. Veremos una guía completa con ejercicios resueltos y explicados paso a paso.
Índice
¿Qué es la suma de fracciones?
La suma de fracciones es una operación matemática que consiste en combinar o agregar partes de un todo, representadas por fracciones, para obtener una cantidad total que represente la suma de esas partes. En términos simples, es la unión o la adición de porciones o partes fraccionarias para obtener una fracción que representa la cantidad total combinada de esas partes.
Una suma de fracciones puede presentarse de dos maneras:
- Con denominadores iguales (fracciones homogéneas): en este caso, se pueden sumar directamente los numeradores y conservar el denominador común para obtener una fracción resultante.
- Con denominadores distintos (fracciones heterogéneas): en este caso es necesario encontrar un denominador común para ambas fracciones antes de sumar. Una vez conseguido esto, se suman los numeradores y se conserva ese denominador común para obtener la fracción resultante.
Cómo sumar fracciones de igual denominador
Para sumar fracciones con igual denominador se suman los numeradores y se mantiene el mismo denominador.
Ejemplo 1: resolver *\dfrac{1}{2}+\dfrac{6}{2}*
Los denominadores de ambas fracciones son iguales, por lo que para resolver la suma basta con copiar el mismo denominador y sumar los numeradores:
*\dfrac{1}{2}+\dfrac{6}{2}=\dfrac{1+6}{2}*
*=\dfrac{7}{2}*
Ejemplo 2: resolver la suma *\dfrac{5}{3}+\dfrac{1}{3}*
Como las fracciones son homogéneas, para resolver la suma se mantiene el mismo denominador y se suman los numeradores.
*\dfrac{5}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5+1}{3}*
*=\dfrac{6}{3}*
Esta última fracción se puede simplificar, y es conveniente hacerlo para tener una expresión más compacta. Podemos dividir numerador y denominador entre 3 porque este número es divisor de ambos:
*\dfrac{6}{3}=\dfrac{6÷3}{3÷3}*
*=\dfrac{2}{1}*
*=2*
Entonces, el resultado de la suma es el número entero *2.*
Ejercicio 3: hallar el resultado de *\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}*
*\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1+1}{2}*
*=\dfrac{2}{2}*
*=1*
Cómo sumar fracciones de distinto denominador
Cuando las fracciones que necesitamos sumar tienen diferente denominador, es necesario recurrir a otros métodos para poder realizar la suma. No es correcto sumar numeradores con numeradores y denominadores con denominadores.
Método mariposa
Consiste en multiplicar en cruz los numeradores con los denominadores (que serían las alas de la mariposa), sumar los resultados y colocarlos en el numerador. Luego, multiplicar los denominadores y ubicarlo en el denominador.
Ejemplo 1: sumar *\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}*
Para resolver esta operación, multiplicamos el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y lo sumamos a la multiplicación del denominador de la primera por el numerador de la segunda. El denominador del resultado es el producto de los denominadores originales:
Ejemplo 2: resolver *\dfrac{5}{3}+\dfrac{4}{5}*
Siguiendo el mismo método:
*\dfrac{5}{3}+\dfrac{4}{5}=\dfrac{5\cdot 5+3\cdot 4}{3\cdot 5}*
*=\dfrac{37}{15}*
Buscando equivalencias
Esta forma consiste en buscar fracciones equivalentes a las que queremos sumar que tengan igual denominador, lo que se conoce como reducción a común denominador.
Para lograr esto, hay que multiplicar el numerador y denominador de cada fracción por el denominador de la otra. De este modo, se obtienen dos fracciones con el mismo denominador, pero sin cambiar el valor de las originales.
Ejemplo 1: obtener *\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}*
Comenzamos fijándonos en los denominadores de las fracciones: una tiene 2 y la otra tiene 4. Entonces, lo que hay que hacer es multiplicar el numerador y el denominador de la primera fracción por 4, y hacer lo mismo con la segunda fracción pero multiplicando por 2:
*\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{1\cdot 4}{2\cdot 4}+\dfrac{3\cdot 2}{4\cdot 2}*
*=\dfrac{4}{8}+\dfrac{6}{8}*
Lo que se ha conseguido es que las fracciones tengan ahora el mismo denominador, pues escribir *4/8* es equivalente a escribir *1/2*, y escribir *6/8* equivale a escribir *3/4.* Como ahora las fracciones son homogéneas, las sumamos como vimos anteriormente: copiamos el denominador y sumamos los numeradores.
*\dfrac{4}{8}+\dfrac{6}{8}=\dfrac{4+6}{8}*
*=\dfrac{10}{8}*
Este resultado se puede simplificar dividiendo numerador y denominador entre 2:
*\dfrac{10}{8}=\dfrac{10÷2}{8÷2}*
*=\dfrac{5}{4}*
Entonces, el resultado final de la suma es *5/4.*
Ejemplo 2: calcular *\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}*
La primera fracción tiene denominador 4, la segunda tiene denominador 8. Entonces, multiplicaremos los términos de la primera por 8 y los términos de la segunda por 4:
*\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1\cdot 8}{4\cdot 8}+\dfrac{1\cdot 4}{8\cdot 4}*
*=\dfrac{8}{32}+\dfrac{4}{32}*
La operación se ha convertido en una suma de fracciones con igual denominador, con lo cual podemos sumar los numeradores y mantener el mismo denominador:
*\dfrac{8}{32}+\dfrac{4}{32}=\dfrac{12}{32}*
*=\dfrac{3}{8}*
El resultado se ha simplificado dividiendo numerador y denominador de *12/32* entre *4.*
Buscando el mínimo común múltiplo
Este método consiste en:
- Buscar el mínimo común múltiplo (MCM) entre los denominadores, que será el denominador del resultado.
- Dividir el MCM entre los denominadores originales y multiplicar el resultado por el numerador correspondiente.
- Sumar los resultados del paso anterior y ubicarlo en el numerador del resultado.
Recordemos que el mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor número que es múltiplo de cada uno de esos números. En otras palabras, es el número más pequeño que es divisible exactamente por cada uno de los números dados.
Con la siguiente calculadora podrás obtener rápidamente el Mínimo Común Múltiplo (MCM) entre dos o más números:
Ejemplo 1: calcular *~\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}*
Primero, calculamos el mínimo común múltiplo entre los denominadores, que son 4 y 8:
*MCM(4,8)=8*
Ahora, este número será el denominador del resultado:
*\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{?}{8}*
El numerador se obtiene sumando dos números, para obtener el primero dividimos el MCM entre el denominador de la primera fracción: *8÷4=2,* este resultado lo multiplicamos por el numerador de esa misma fracción: *2\cdot 1=2.* Este último número será uno de los sumandos:
*\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{2+ ?}{8}*
Para obtener el segundo número, dividimos el MCM entre el denominador de la segunda fracción: *8÷8=1,* este resultado lo multiplicamos por el numerador de la misma fracción: *1\cdot 1=1.* Este último número será el otro sumando:
*\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{2+1}{8}*
Ahora, simplemente queda realizar la suma en el numerador:
*\dfrac{2+1}{8}=\dfrac{3}{8}*
Entonces, el resultado de la suma *1/4+1/8* es *3/8.* Puede parecer que esta forma de resolver es más complicada que las anteriores, pero una ventaja que tiene es que entrega el resultado simplificado.
Ejemplo 2: obtener el resultado de *~\dfrac{7}{20}+\dfrac{7}{6}*
Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores:
*MCM(20,6)=60*
Con este número realizamos el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior y llegaremos a:
*\dfrac{7}{20}+\dfrac{7}{6}=\dfrac{21+70}{60}*
*=\dfrac{91}{60}*
Cómo sumar una fracción a un entero
Recordemos que todo número entero puede escribirse como una fracción con denominador 1. Por tanto, para sumar un número sin denominador a una fracción, basta con convertirlo a forma fraccionaria y realizar la operación con cualquiera de los métodos que vimos anteriormente. Podemos aplicar el método de búsqueda de equivalencias de la siguiente forma.
Para sumar una fracción a un entero, se convierte el entero a fracción y se multiplica su numerador y denominador por el denominador de la otra. Luego, se suman los numeradores conservando el denominador.
Ejemplo 1: hallar *1+\dfrac{1}{2}*
El entero *1* puede pensarse como la fracción *1/1,* entonces:
*1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}*
Ahora, las fracciones no tienen el mismo denominador, por lo que no se pueden sumar directamente. Para solucionar esto, multiplicamos los términos de la primera fracción por el denominador de la segunda, así:
*\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1\cdot 2}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2}*
*=\dfrac{2}{2}+\dfrac{1}{2}*
Con esto hemos conseguido que las fracciones tengan el mismo denominador, entonces, se pueden sumar fácilmente conservando el denominador y sumando los numeradores.
*\dfrac{2}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2+1}{2}*
*=\dfrac{3}{2}*
Ejemplo 2: resolver *2+\dfrac{4}{5}*
Como en el caso anterior, podemos pensar al entero como una fracción con denominador *1,* con lo cual *2* se escribirá como *2/1.* Sabiendo esto, procedemos como en el ejemplo anterior:
*2+\dfrac{4}{5}=\dfrac{2}{1}+\dfrac{4}{5}*
*=\dfrac{2\cdot 5}{1\cdot 5}+\dfrac{4}{5}*
*=\dfrac{10}{5}+\dfrac{4}{5}*
*=\dfrac{10+4}{5}*
*=\dfrac{14}{5}*
Suma de tres o más fracciones
Si queremos sumar más de dos fracciones, los métodos que vimos hasta ahora siguen funcionando. Se facilitan más los de reducción a común denominador y mínimo común múltiplo. Para el método mariposa será necesario agrupar de dos en dos y pasar a los resultados por el mismo proceso.
Ejemplo:
*\dfrac{1}{2}+\dfrac{6}{3}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{1\cdot 3\cdot 4}{2\cdot 3\cdot 4}+\dfrac{6\cdot 2\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 4}+\dfrac{5\cdot 2\cdot 3}{4\cdot 2\cdot 3}*
*=\dfrac{12}{24}+\dfrac{48}{24}+\dfrac{30}{24}*
*=\dfrac{12+48+30}{24}*
*=\dfrac{90}{24}*
*=\dfrac{15}{4}*
Propiedades de la suma
La suma de fracciones cumple con una serie de propiedades interesantes. Ellas son:
1) Propiedad conmutativa: El orden de las fracciones no altera el resultado de la suma. Por ejemplo:
*\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{6}=\dfrac{3}{6}+\dfrac{4}{5}*
2) Propiedad asociativa: Es posible agrupar las fracciones de diferentes formas sin cambiar el resultado de la suma. Por ejemplo:
*\left(\dfrac{4}{5}+ \dfrac{3}{9}\right)+\dfrac{1}{8}=\dfrac{4}{5}+\left(\dfrac{3}{9}+\dfrac{1}{8}\right)*
3) Elemento neutro: Existe una fracción que sumada a otra fracción no altera su valor, esta es la fracción *0/1.* Por ejemplo:
*\dfrac{3}{4}+\dfrac{0}{1}= \dfrac{3}{4}*
4) Elemento opuesto: Para cada fracción existe otra que al sumarse con ella da como resultado la fracción cero. Esta fracción se obtiene cambiando el signo de la original. Por ejemplo:
*\dfrac{3}{4}+\left(-\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{0}{1}*
Preguntas frecuentes
¿Cómo se suman fracciones con el mismo denominador?
Para sumar fracciones con el mismo denominador, se suman los numeradores y copia el mismo denominador.
¿Cómo se suman fracciones con denominadores diferentes?
Para sumar fracciones de denominadores diferentes tenemos algunos métodos como: el método mariposa, encontrar equivalencias y hallar el mínimo común múltiplo.
¿Cómo se suman fracciones con el mismo numerador?
El hecho de que los numeradores sean iguales o distintos es irrelevante a la hora de sumar fracciones, lo que sí importa son los denominadores: si son iguales, se mantiene y se suman los numeradores; si son diferentes, se emplea algún método alternativo.
¿Cómo se suman las fracciones impropias?
Las fracciones impropias se suman de igual manera que todas las fracciones. Lo que importa es si los denominadores son iguales o diferentes y utilizar el procedimiento correcto dependiendo del caso.
¿Cómo se puede verificar si la suma de fracciones es correcta?
Para verificar que una suma es correcta se puede, entre otras cosas: recurrir a una calculadora, usar una representación gráfica de las fracciones (como la recta numérica), emplear distintos métodos para la suma o convertir todas las fracciones a decimales y operar en esa forma.
¿Cuáles son las diferencias entre la suma de fracciones y la suma de números enteros?
La principal diferencia entre la suma de fracciones y la suma de números enteros es que las fracciones pueden tener distintos denominadores, mientras que los números enteros siempre tienen el mismo denominador (1).
