Infinitésimos: definición, propiedades y clasificación
En este artículo estudiamos qué es un infinitésimo, algunos ejemplos del mismo, las operaciones entre infinitésimos y propiedades que cumplen.
Índice
Qué es un infinitésimo
Una función f es infinitésimo en el punto a si y sólo si *\lim_{x\to a} f(x)=0.* O sea, una función es infinitésimo (también se puede decir infinitésima o infinitesimal) en un punto si su límite en el punto es igual a cero.
Por ejemplo:
*f(x)=x* es infinitésima en 0 porque *\lim_{x\to 0} x=0*
*f(x)=x-a* es infinitésimo en a porque *\lim_{x\to a} (x-a)=0*
*f(x)=\sin x* es infinitesimal en *\pi* porque *\lim_{x\to \pi} \sin x=0*
*f(x)=x^2-1* es infinitésima en 1 porque *\lim_{x\to 1} (x^2-1)=0*
Aplicando la definición de límite, se observa de inmediato que
*\lim_{x\to a} f(x)=L* si y solo si *\lim_{x\to a} [f(x)-L]=0*
O sea, *\lim_{x\to a} f(x)=L* si y sólo si *f(x)-L* es infinitesimal en a. En otras palabras, una función tiene límite L en un punto a si la diferencia *f(x)-L* tiende a cero en a.
Notas:
- No hay números infinitésimos, sino funciones infinitésimas en un punto. No se puede decir que un número sea pequeño o grande si no se toma algún punto de referencia. Un milímetro es una longitud pequeña para las mediciones habituales, pero es muy grande para la escala atómica.
- Las funciones no son infinitésimos en general, sino en ciertos puntos. Así, *\sin x* es infinitésimo para *x=k\pi~ (k=0, ±1, ±2,...),* pero no lo es para ningún otro valor de x.
Propiedades de los infinitésimos
- La suma o diferencia de dos infinitésimos en un punto es otro infinitésimo en el punto.
- El producto de dos infinitésimos, es otro infinitésimo.
- El producto de un infinitésimo por una constante k cualquiera, es un infinitésimo.
- El cociente de dos infinitésimos es una indeterminación 0/0.
Órdenes infinitesimales
A diferencia de lo que sucede con la suma, resta y producto de infinitésimos, no podemos asegurar nada en general sobre el cociente de infinitésimos, por ello dijimos que es una indeterminación. Basta considerar algunos ejemplos:
- El cociente *\dfrac{x^5}{x^2}* de dos infinitésimos *x^5, x^2* para *x=0,* es igual a *x^3,* que también es infinitésimo en *x=0.*
- El cociente *\dfrac{x^2}{x^3}* es igual a *\dfrac{1}{x},* expresión que se hace tan grande como se quiera si se toma x suficientemente próximo a cero.
- El cociente *\dfrac{x^2}{2x^2}* de los infinitésimos *x^2* y *2x^2* en cero es igual al número fijo *\dfrac{1}{2}.*
En general, si *f(x)* y *g(x)* son dos infinitésimos:
- Si *\dfrac{f(x)}{g(x)}\to 0* se dice que *f(x)* es un infinitésimo de orden superior respecto de *g(x).*
- Si *\dfrac{f(x)}{g(x)}* tiende a un valor constante k, se dice que los infinitésimos son del mismo orden.
- Si el cociente *\dfrac{f(x)}{g(x)},* como en el segundo ejemplo, puede hacerse tan grande como se quiera, se dice que *f(x)* es un infinitésimo de orden inferior respecto de *g(x).*
