Teoremas de límites

En este artículo estudiamos teoremas importantes sobre límites que son de utilidad a la hora de calcularlos.

Índice

Teoremas de existencia y unicidad

Existencia del límite: sea *f* una función real y c un punto que puede o no estar en su dominio. El límite de *f* en c existe si y sólo si existen los límites laterales en c y estos son iguales. Simbólicamente:

*\lim_{x\to c} f(x)=L ↔ \lim_{x\to c^+} f(x)=\lim_{x\to c^-} f(x)=L*

Unicidad del límite: si *f* es una función real y existe el límite de *f* en un punto c, entonces este límite es único. Simbólicamente:

*\lim_{x\to c} f(x)=L~~y~~\lim_{x\to c} f(x)=M → L=M*

Límites de las operaciones con funciones

Suponga que k es una constante, n es un entero positivo y que existen los límites *\lim_{x\to a} f(x)* y *\lim_{x\to a} g(x),* entonces se cumplen las siguientes propiedades.

$$\lim_{x\to a} [f(x)+g(x)]=\lim_{x\to a} f(x) + \lim_{x\to a} g(x)$$

$$\lim_{x\to a} [f(x)-g(x)]=\lim_{x\to a} f(x) - \lim_{x\to a} g(x)$$

$$\lim_{x\to a} [k\cdot f(x)]=k\cdot \lim_{x\to a} f(x)$$

$$\lim_{x\to a} [f(x)\cdot g(x)]=\lim_{x\to a} f(x)\cdot \lim_{x\to a} g(x)$$

$$\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim_{x\to a} f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)}~~~(\text{siempre que}~\lim_{x\to a} g(x)≠0)$$

$$\lim_{x\to a} [f(x)]^n=[\lim_{x\to a} f(x)]^n$$

$$\lim_{x\to a} \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a} f(x)}$$

Si n es par, supongamos que *\lim_{x\to a} f(x)>0*

Límites de funciones conocidas

Si *f(x)=k* y a está en su dominio, entonces *\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} k=k*

Si *f(x)=x* y a está en su dominio, entonces *\lim_{x\to a} x=a*

Si *f(x)=x^n* donde n es un entero positivo y a está en su dominio, entonces *\lim_{x\to a} x^n=a^n*

Si *f(x)=\sqrt[n]{x}* donde n es un entero positivo a está en su dominio, entonces *\lim_{x\to a} \sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a}.* Si n es par suponemos que *a>0*

Límite de una función compuesta: Si f y g dos funciones tales que *\lim_{x\to a} g(x)=L* y *\lim_{x\to L} f(x)=f(L),* entonces $$\lim_{x\to a} f(g(x))=f(\lim_{x\to a} g(x))=f(L)$$

Teorema de la sustitución directa

Si f es una función polinómica, racional o trigonométrica y c está en el dominio de f, entonces:

$$\lim_{x\to c} f(x)=f(c)$$

Este teorema nos dice que el límite de las funciones mencionadas en un punto de su dominio, es igual al valor de la función en ese punto.

Otros teoremas importantes

Teorema: Si *f(x)≤g(x)* cuando x es cercana a c (excepto posiblemente en c) y los límites de *f* y *g* existen cuando x se aproxima a c, entonces:

$$\lim_{x\to c} f(x)≤\lim_{x\to c} g(x)$$

Este teorema nos indica que si los valores de una función f se mantienen por debajo o iguales que los de otra función g cerca de un punto, entonces el límite de f en c también se mantiene por debajo o igual que el límite de g en el mismo punto, si es que ambos límites existen.

Teorema de compresión (o del sándwich): si *g(x)≤f(x)≤h(x)* cuando x es cercana a c (excepto posiblemente en c) y *\lim_{x\to c} g(x)=\lim_{x\to c} h(x)=L,* entonces:

$$\lim_{x\to c} f(x)=L$$

El teorema de compresión nos dice que si *f(x)* está atrapada entre *g(x)* y *h(x)* cerca de c, y si g y h tienen el mismo límite L en c, entonces f está forzada a tener el mismo límite L en c.