Límites de funciones compuestas

En este artículo desarrollamos una forma para hallar los límites de funciones compuestas en un punto usando una propiedad importante en el cálculo. Recordemos que estas funciones surgen de realizar una composición de funciones.

Introducción

Cuando tenemos que evaluar un límite como *\lim_{x\to 5}\sqrt{x-1}* resulta muy tentador hacer

$$\lim_{x\to 5}\sqrt{x-1}=\sqrt{\lim_{x\to 5}(x-1)}=\sqrt{4}=2$$

Pero, ¿es posible “mover el límite dentro del radical”? Para analizar este problema, escribimos *f(x)=\sqrt{x}* y *g(x)=x-1.* Entonces, podemos formar la función compuesta

*(f\circ g)(x)=f(g(x))=\sqrt{g(x)}=\sqrt{x-1}*

Esta es la misma función de la cuál debíamos hallar el límite, y nuestra duda se puede plantear en forma general de la siguiente forma:

$$\lim_{x\to a} f(g(x))=f(\lim_{x\to a}g(x))$$

La siguiente ley de los límites corrobora esta afirmación siempre que se cumplan algunas condiciones.

Teorema sobre el límite de una función compuesta

Sean f y g dos funciones tales que

  1. *\lim_{x\to a} g(x)=L*
  2. *\lim_{x\to L} f(x)=f(L)*

Entonces,

$$\lim_{x\to a} f(g(x))=f(\lim_{x\to a} g(x))=f(L)$$

Equivalentemente:

$$\lim_{x\to a} (f\circ g)(x)=f(\lim_{x\to a} g(x))$$

Las condiciones bajo las cuales el teorema anterior se cumple son:

  1. El límite de la “función interior” g cuando *x\to a* existe y es igual a L.
  2. El límite de la “función exterior” f cuando *x\to L* existe y es igual al valor “esperado” de f, o sea, f(L). 

Cumpliéndose esto, entonces el límite de la función compuesta *f(g(x))* cuando *x\to a* se puede encontrar sustituyendo en la función f el valor del límite de g(x) cuando *x\to a.*

En nuestro ejemplo inicial, las funciones eran *f(x)=\sqrt{x}* y *g(x)=x-1* y queríamos encontrar el valor del límite de *f(g(x))=\sqrt{x-1}* cuando *x\to 5.* Las condiciones que exige el teorema se cumplen, pues:

  1.  *\lim_{x\to 5}(x-1)=4*
  2. *\lim_{x\to 4}\sqrt{x}=\sqrt{4}=2*

Entonces, podemos afirmar con seguridad que:

$$\lim_{x\to 5}\sqrt{x-1}=\sqrt{\lim_{x\to 5}(x-1)}=\sqrt{4}=2$$

Gráfica de la función compuesta f(g(x))=raiz(x-1)
Gráfica de la función compuesta f(g(x)). Se puede ver que cuando x tiende a 5, las imágenes tienden a 2.

Nota: las condiciones pedidas por el teorema se pueden plantear apelando al concepto de continuidad de la siguiente forma:

  • Existe el límite de g en el punto a y es igual a L.
  • f es continua en el punto L.

Ejemplo:

Sean *f(x)=\ln(x)* y *g(x)=\dfrac{x^3-2x^2}{x-2}.* Encuentre el siguiente límite: 

$$\lim_{x\to 2} f(g(x))$$

Primero, identificamos que la función compuesta es *f(g(x))=\ln\left(\dfrac{x^3-2x^2}{x-2}\right).* Analizaremos si se cumplen las condiciones exigidas por el teorema para poder “mover el límite” dentro del logaritmo:

1) ¿Existe el límite de *g(x)=\dfrac{x^3-2x^2}{x-2}* en el punto *x=2*?

Si intentamos hacer una sustitución directa, llegamos a una indeterminación del tipo 0/0.

$$\lim_{x\to 2} \dfrac{x^3-2x^2}{x-2}=\dfrac{0}{0}$$

Pero, realizando una factorización obtenemos una expresión más simple para la función, la cual nos permite encontrar el límite:

*\lim_{x\to 2} \dfrac{x^3-2x^2}{x-2}=\lim_{x\to 2} \dfrac{x^2(x-2)}{x-2}*

*=\lim_{x\to 2} \dfrac{x^2\cancel{(x-2)}}{\cancel{x-2}}*

*=\lim_{x\to 2} x^2*

*=2^2*

*=4*

Por tanto, concluimos que sí existe el límite de la función en el punto y es igual a 4: 

$$\lim_{x\to 1} \dfrac{x^3-2x^2}{x-2}=4$$

2) ¿Existe el límite de *f(x)=\ln{x}* en *x=4* y es igual a *f(4)*?

En efecto, pues por la propiedad de la función logarítmica:

$$\lim_{x\to 4} \ln(x)=\ln(4)=f(4)$$

Concluimos que se cumplen las dos condiciones para aplicar el teorema de la función compuesta. Entonces:

$$\lim_{x\to 2} \ln \left(\dfrac{x^3-2x^2}{x-2}\right)=\ln \left(\lim_{x\to 2}\dfrac{x^3-2x^2}{x-2}\right)=\ln(4)≈1,38629…$$

Gráfica de la función compuesta logarítmica del ejemplo
Gráfica de la función compuesta del ejemplo. Cuando x tiende a 2, las imágenes tienden a ln(4).

Nótese que no estamos hallando la imagen de la función compuesta en x=2, pues la función no está definida en dicho punto. Lo que estamos haciendo es hallar el límite de la función en el punto dado, el cual sí existe.

Teorema aplicado a funciones usuales

Si *f(x)=x^{1/n},* donde n es un entero positivo, aplicando el teorema del límite de la composición de funciones llegamos a que:

$$\lim_{x\to a}\sqrt[n]{g(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a} g(x)}$$

Bajo el supuesto de que el límite de g(x) existe cuando *x\to a* y es positivo si n es par. 

Un caso particular lo vimos al comienzo y podemos llamarlo el teorema del límite de la función raíz cuadrada:

$$\lim_{x\to a}\sqrt{g(x)}=\sqrt{\lim_{x\to a} g(x)}$$

siempre que *\lim_{x\to a} g(x)* existe y es positivo.

Si *g(x)=x^{m/n},* donde m es un entero positivo, resulta 

$$\lim_{x\to a}x^{m/n}=a^{m/n}$$

con la condición de que *a>0* si n es par. 

Teorema del límite de una función compuesta
Límite de la función raíz cuadrada

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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