Límites de funciones radicales e indeterminaciones

En este artículo estudiamos los límites de las funciones radicales en un punto, el más infinito y el menos infinito. Comenzamos tratando los casos de las funciones raíz cuadrada y cúbica y luego pasamos a la raíz enésima. También abordamos casos de indeterminaciones con funciones radicales.

Recordemos que una función radical es una función real de la forma *f(x)=\sqrt[n]{x}* donde n es un entero positivo. Su dominio depende del valor de n: si es par, el dominio son los números reales no negativos; si n es impar, el dominio son todos los números reales.

Límites de la función raíz cuadrada

El límite de la función raíz cuadrada en un punto es igual a la imagen de la función en ese punto, siempre que allí esté definida.

*\lim_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a}*

Ejemplos:

*\lim_{x\to 4}\sqrt{x}=\sqrt{4}=2*

*\lim_{x\to 10}\sqrt{x}=\sqrt{10}*

El límite de la función raíz cuadrada en el más infinito es igual a más infinito. El límite en el menos infinito no existe.

*\lim_{x\to \infty}\sqrt{x}=+\infty*

*\lim_{x\to -\infty}\sqrt{x}* no existe.

Gráfica de la función raíz cuadrada
Gráfica de la función raíz cuadrada

Cuando tenemos una función compuesta con la función raíz cuadrada, podemos utilizar el teorema del límite de funciones compuestas, ya que se cumplen las condiciones exigidas para poder utilizar dicho teorema.

El límite de raíz cuadrada de una función en un punto es igual a la raíz cuadrada del límite de la función en ese punto, siempre que el límite exista y sea no negativo.

*\lim_{x\to a}\sqrt{g(x)}=\sqrt{\lim_{x\to a} g(x)}*

siempre que *\lim_{x\to a} g(x)* existe y es positivo o cero.

Ejemplos:

*\lim_{x\to 2}\sqrt{7+x}=\sqrt{\lim_{x\to 2} (7+x)}=\sqrt{7+2}=\sqrt{9}=\sqrt{3}* 

 *\lim_{x\to 1}\sqrt{x^2+1}=\sqrt{\lim_{x\to 1} (x^2+1)}=\sqrt{(1)^2+1}=\sqrt{2}*

Límites de la función raíz cúbica

El límite de la función raíz cúbica en un punto es igual a la imagen de la función en ese punto.

*\lim_{x\to a}\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{a}*

Ejemplos:

*\lim_{x\to 8}\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{8}=2*

*\lim_{x\to -27}\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{-27}=-3* 

El límite de la función raíz cúbica en el más infinito es igual a más infinito. El límite en el menos infinito es igual a menos infinito.

*\lim_{x\to \infty}\sqrt[3]{x}=+\infty*

*\lim_{x\to -\infty}\sqrt[3]{x}=-\infty*

Gráfica de la función raíz cúbica
Gráfica de la función raíz cúbica

Del mismo modo que con la raíz cuadrada, podemos aplicar el teorema del límite de funciones compuestas en el caso de tener una composición con una raíz cúbica.

El límite de la raíz cúbica de una función en un punto es igual a la raíz cúbica del límite de la función en ese punto, siempre que el límite exista.

*\lim_{x\to a}\sqrt[3]{g(x)}=\sqrt[3]{\lim_{x\to a} g(x)}*

Nótese que no aplicamos la restricción de que el radicando debe ser positivo, porque las raíces cúbicas de números negativos sí son números reales.

Ejemplos:

*\lim_{x\to 5}\sqrt[3]{x^2-1}=\sqrt[3]{\lim_{x\to 5} (x^2-1)}=\sqrt[3]{5^2-1}=\sqrt[3]{24}*

*\lim_{x\to 3}\sqrt[3]{2^x}=\sqrt[3]{\lim_{x\to 3} 2^x}=\sqrt[3]{2^3}=2* 

Límites de la función raíz n-ésima

Tomando un caso general, si *f(x)=\sqrt[n]{x},* donde n es un entero positivo, el límite de la función raíz n-ésima en un punto es igual a la imagen de la función en el punto, siempre que el radicando sea positivo si n es par.

*\lim_{x\to a}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a}*

siempre que a sea positivo si n es par.

Ejemplos:

*\lim_{x\to 81}\sqrt[4]{x}=\sqrt[4]{81}=3*

*\lim_{x\to 3}\sqrt[6]{x}=\sqrt[6]{3}*

El límite de la función raíz n-ésima en el más infinito es igual a más infinito.

*\lim_{x\to \infty}\sqrt[n]{x}=+\infty*

El límite en el menos infinito es igual a menos infinito (si n es impar) y no existe si n es par.

  • Si n es impar, entonces *\lim_{x\to -\infty}\sqrt{x}=-\infty*
  • Si n es par, entonces *\lim_{x\to -\infty}\sqrt{x}* no existe.

Podemos aplicar el teorema del límite de una función compuesta en el caso de la raíz enésima siempre que exijamos que se cumplan las condiciones. En este caso, bastará con exigir que el radicando no sea negativo cuando el índice de la raíz es par.

El límite de raíz-ésima de una función en un punto es igual a la raíz n-ésima del límite de la función en ese punto, siempre que el límite exista y sea positivo si n es par.

*\lim_{x\to a}\sqrt[n]{g(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a} g(x)}* 

Ejemplos:

*\lim_{x\to -1}\sqrt[3]{-x-8}=\sqrt[3]{\lim_{x\to -1} (-x-8)}=\sqrt[3]{-1-8}=\sqrt[3]{-9}*

*\lim_{x\to 7}\sqrt[10]{x^3-10}=\sqrt[10]{\lim_{x\to 7} (x^3-10)}=\sqrt[10]{7^3-10}=\sqrt[10]{333}*

Límites indeterminados con funciones radicales

Veremos a continuación algunos ejemplos de cómo resolver distintos casos de indeterminaciones que involucran funciones con raíces.

Indeterminaciones cero sobre cero (0/0)

Ejemplo 1: *\lim_{x\to 4} \dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}*

Solución: Para solucionar la indeterminación 0/0, podemos recurrir a multiplicar y dividir la función por el conjugado de la parte que tenga un radical, de esta forma podremos aplicar una diferencia de cuadrados en el numerador.

*\lim_{x\to 4} \dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\lim_{x\to 4} \left(\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}\cdot \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}\right)*

*=\lim_{x\to 4} \dfrac{(\sqrt{x})^2-(2)^2}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}*

*=\lim_{x\to 4} \dfrac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}*

*=\lim_{x\to 4} \dfrac{\cancel{x-4}}{\cancel{(x-4)}(\sqrt{x}+2)}*

*=\lim_{x\to 4} \dfrac{1}{\sqrt{x}+2}*

Ahora podemos calcular el límite y no estará indeterminado:

*\lim_{x\to 4} \dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\lim_{x\to 4} \dfrac{1}{\sqrt{x}+2}*

*=\dfrac{1}{\sqrt{4}+2}*

*=\dfrac{1}{2+2}*

*=\dfrac{1}{4}*

Ejemplo 2: *\lim_{x\to 2} \dfrac{x-\sqrt{x+2}}{\sqrt{4x+1}-3}*

Solución: Podemos aplicar el mismo procedimiento que antes pero multiplicando y dividiendo por los conjugados del numerador y denominador, ya que ambos tienen raíces.

*\lim_{x\to 2} \dfrac{x-\sqrt{x+2}}{\sqrt{4x+1}-3}= *

*=\lim_{x\to 2} \dfrac{x-\sqrt{x+2}}{\sqrt{4x+1}-3}\cdot \dfrac{x+\sqrt{x+2}}{x+\sqrt{x+2}}\cdot \dfrac{\sqrt{4x+1}+3}{\sqrt{4x+1}+3}*

*=\lim_{x\to 2} \dfrac{(x^2-x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}{(4x-8)(x+\sqrt{x+2})}*

*=\lim_{x\to 2} \dfrac{(x^2-x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}{4(x-2)(x+\sqrt{x+2})}*

El polinomio del numerador *x^2-x-2* se puede factorizar como *x^2-x-2=(x-2)(x+1).* Reemplazando en el límite:

*\lim_{x\to 2} \dfrac{(x^2-x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}{4(x-2)(x+\sqrt{x+2})}*

*=\lim_{x\to 2} \dfrac{(x-2)(x+1)(\sqrt{4x+1}+3)}{4(x-2)(x+\sqrt{x+2})}*

*=\lim_{x\to 2} \dfrac{\cancel{(x-2)}(x+1)(\sqrt{4x+1}+3)}{4\cancel{(x-2)}(x+\sqrt{x+2})}*

*=\lim_{x\to 2} \dfrac{(x+1)(\sqrt{4x+1}+3)}{4(x+\sqrt{x+2})}*

*=\dfrac{(2+1)(\sqrt{4\cdot 2+1}+3)}{4(2+\sqrt{2+2})}*

*=\dfrac{9}{8}*

Indeterminaciones infinito sobre infinito (∞/∞)

Ejemplo 1: *\lim_{x\to \infty} \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{3x-5}*

Solución: Para salvar esta indeterminación, podemos dividir numerador y denominador por la variable elevada la primera potencia.

*\lim_{x\to \infty} \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{3x-5}=\lim_{x\to \infty} \dfrac{\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}}{\dfrac{3x-5}{x}}*

*=\lim_{x\to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}}}{\dfrac{3x}{x}-\dfrac{5}{x}}*

*=\lim_{x\to \infty} \dfrac{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}{3-\dfrac{5}{x}}*

*=\dfrac{\sqrt{1+\dfrac{1}{\infty^2}}}{3-\dfrac{5}{\infty}}*

*=\dfrac{\sqrt{1+0}}{3-0}*

*=\dfrac{1}{3}*

Nota: para que x entre a la raíz, debe ser elevada al cuadrado. 

Ejemplo 2: *\lim_{x\to \infty} \dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}*

Solución: De la misma forma que en el caso anterior, dividimos numerador y denominador por la variable elevada a 1.

*\lim_{x\to \infty} \dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\lim_{x\to \infty} \dfrac{\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x}}{\dfrac{x-1}{x}}*

*=\lim_{x\to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{x}{x^2}+\dfrac{3}{x^2}}-\dfrac{2}{x}}{\dfrac{x}{x}-\dfrac{1}{x}}*

*=\lim_{x\to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x^2}}-\dfrac{2}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}*

*=\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{\infty}+\dfrac{3}{\infty^2}}-\dfrac{2}{\infty}}{1-\dfrac{1}{\infty}}*

*=\dfrac{\sqrt{0+0}-0}{1-0}*

*=\dfrac{0}{1}*

*=0*

Indeterminaciones infinito menos infinito (∞-∞)

Ejemplo 1: *\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2-2}-\sqrt{x^2+x})*

Solución: Un camino habitual para resolver estas indeterminaciones es convertirlas en otra del tipo ∞/∞ y resolverla. Podemos hacer esto multiplicando y dividiendo por el conjugado de la función y luego usar diferencia de cuadrados.

*\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2-2}-\sqrt{x^2+x})=\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2-2}-\sqrt{x^2+x})\cdot \dfrac{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2+x}}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2+x}}*

*=\lim_{x\to \infty} \dfrac{x^2-2-x^2-x}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2+x}}*

*=\lim_{x\to \infty} \dfrac{-2-x}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2+x}}*

En este punto, intentar resolver el límite arrojará una indeterminación ∞/∞, podemos resolverla dividiendo numerador y denominador por la variable elevada a 1.

*\lim_{x\to \infty} \dfrac{-2-x}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2+x}}*

*=\lim_{x\to \infty} \dfrac{\dfrac{-2-x}{x}}{\dfrac{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2+x}}{x}}*

*=\lim_{x\to \infty} \dfrac{-\dfrac{2}{x}-\dfrac{x}{x}}{\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{2}{x^2}}+\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{x}{x^2}}}*

*=\lim_{x\to \infty} \dfrac{-\dfrac{2}{x}-1}{\sqrt{1-\dfrac{2}{x^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}}*

*=\dfrac{-\dfrac{2}{\infty}-1}{\sqrt{1-\dfrac{2}{\infty^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{\infty}}}*

*=\dfrac{0-1}{\sqrt{1-0}+\sqrt{1+0}}*

*=-\dfrac{1}{2}*

Ejemplo 2: *\lim_{x\to \infty} (x+\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{x}})*

Solución: de igual manera que en el caso anterior, multiplicamos y dividimos por el conjugado de la función y aplicamos una diferencia de cuadrados.

*\lim_{x\to \infty} (x+\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{x}})=\lim_{x\to \infty} (x+\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{x}})\cdot \dfrac{x+\sqrt{x}+\sqrt{x-\sqrt{x}}}{x+\sqrt{x}+\sqrt{x-\sqrt{x}}}*

*=\lim_{x\to \infty} \dfrac{(x+\sqrt{x})^2-x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{x}}}*

*=\lim_{x\to \infty} \dfrac{x^2+2x\sqrt{x}+x-x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{x}}}*

*=\lim_{x\to \infty} \dfrac{x^2+2x\sqrt{x}-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{x}}}*

Ahora es una indeterminación infinito sobre infinito que podemos resolver dividiendo numerador y denominador por la variable elevada a la máxima potencia, en este caso es 2.

*\lim_{x\to \infty} \dfrac{x^2+2x\sqrt{x}-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{x}}}*

*=\lim_{x\to \infty} \dfrac{\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{2x\sqrt{x}}{x^2}-\dfrac{\sqrt{x}}{x^2}}{\dfrac{x}{x^2}+\dfrac{\sqrt{x}}{x^2}+\dfrac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x^2}}*

*=\lim_{x\to \infty} \dfrac{1+\dfrac{2}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x^{3/2}}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{3/2}}+\sqrt{\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x^{7/2}}}}*

*=\dfrac{1+0+0}{0}*

*=\infty*

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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