Límites de funciones logarítmicas

En este artículo desarrollamos los límites de las funciones logarítmicas en un punto y en el infinito y también analizamos una propiedad que nos permite calcular el límite del logaritmo de una función.

Recordemos que las funciones logarítmicas son funciones reales que tienen la forma *f(x)=\log_a x* donde a es un número positivo distinto de 1 y x es un número positivo (estas restricciones vienen dadas por la definición de logaritmo). La función logarítmica es continua en su dominio, los números reales positivos. Su rango es el conjunto de los números reales.

Índice

Límites notables de las funciones logarítmicas

Algunos límites notables de las funciones logarítmicas son:

*\lim_{x\to 1} \log_a x=0*

*\lim_{x\to a} \log_a x=1*

Si *0<a<1,* se tiene una función continua decreciente con dominio *D=(0,+\infty)* y asíntota vertical en *x=0.* Los límites destacables en este caso son:

*\lim_{x\to \infty} \log_a x=-\infty*

*\lim_{x\to 0^+} \log_a x=\infty*

grafica logaritmica base 0 1 — Gráfica de una función logarítmica con base entre cero y uno

Si *a>1,* se tiene una función continua decreciente con dominio *D=(0,+\infty)* y asíntota vertical en *x=0.* Los límites destacables en este caso son:

*\lim_{x\to \infty} \log_a x=\infty*

*\lim_{x\to 0^+} \log_a x=-\infty*

Gráfica de una función logarítmica con base mayor a 1 — Gráfica de una función logarítmica con base mayor a uno

Debido a su continuidad, se cumple que el límite de una función logarítmica cuando la variable independiente tiende a un valor del dominio, es igual al logaritmo de dicho valor.

$$\lim_{x\to c} \log_a x=\log_a (c)$$

Ejemplos:

*\lim_{x\to 100} \log_{10} (x)=\log_{10} (100)=2*

*\lim_{x\to 4} \log_2 (x)=\log_2 (4)=2*

Límites de la función logarítmica natural

Cuando usamos como base del logaritmo al número irracional *e=2,7182…,* la función logarítmica adquiere la forma *f(x)=\log_e x* que se puede escribir con una notación especial como

*f(x)=\ln x*

Esta es llamada la función logarítmica natural o función logaritmo natural. Su dominio es el conjunto de los reales positivos y su rango el conjunto de los números reales.

Gráfica de la función logaritmo natural de x — Gráfica de la función logaritmo natural

Los límites notables en este caso son:

*\lim_{x\to 1} \ln x=0*

*\lim_{x\to e} \ln x=1*

*\lim_{x\to \infty} \ln x=\infty*

*\lim_{x\to 0^+} \ln x=-\infty*

Límite del logaritmo de una función

Si en el lugar de la variable independiente en una función logarítmica ubicamos una función f, tendremos la función compuesta *\log_a f(x).* El límite del logaritmo de una función en un punto es igual al logaritmo del límite de la función en el mismo punto, si dicho límite existe y allí está definido el logaritmo:

$$\lim_{x\to c}(\log_a f(x))=\log_a (\lim_{x\to c} f(x))$$

Ejemplos:

*\lim_{x\to 2} \log (12-x)=\log(\lim_{x\to 2}(12-x))=\log(12-2)=\log(10)=1*

*\lim_{x\to 3} \ln (2+e^x)=\ln (\lim_{x\to 3}(2+e^x))=\ln (2+e^3)*

Nota: sin recurrir al concepto de continuidad podemos llegar al resultado *\lim_{x\to c}(\log_a f(x))=\log_a (\lim_{x\to c} f(x))* apelando al teorema del límite de una función compuesta, ya que se cumplen las dos condiciones exigidas cuando en el punto c existe el límite de la función f y dicho en dicho límite está definido el logaritmo: