Límites de funciones cuadráticas

En este artículo exploramos los límites de una función cuadrática tanto en un punto como en el más infinito y el menos infinito junto con algunos ejemplos para una mejor compresión.

Recordemos que una función cuadrática es una función real de la forma *f(x)=ax^2+bx+c* donde a, b, c son números reales y a≠0. Su dominio es el conjunto de los números reales, o sea, *D_f=\mathbb{R}.*

Límites en un punto

El límite de una función cuadrática en un punto es igual al valor de la función en dicho punto.

Sea *f(x)=ax^2+bx+c* donde *a≠0* y *D_f=\mathbb{R},* entonces:

$$\lim_{x\to p} f(x)=\lim_{x\to p} ~(ax^2+bx+c)=ap^2+bp+c$$

Límite de una función cuadrática en un punto
En la gráfica se observa que si nos acercamos al punto a, las imágenes de la función se acercan al valor f(a)

Ejemplos:

*\lim_{x\to 2} ~(2x^2+5x+3)=2(2)^2+5(2)+3=2\cdot 4+10+3=21*

*\lim_{x\to -1} ~(x^2+2x-3)=(-1)^2+2(-1)-3=1-2-3=-4*

*\lim_{x\to 3} ~(-4x^2-9x)=-4(3)^2-9(3)=-36-27=-63*

*\lim_{x\to -4} ~(-x^2+1)=-(-4)^2+1=-16+1=-15*

Límites en el infinito

El límite de una función cuadrática cuando la variable independiente tiende a más infinito o menos infinito es más infinito (si el coeficiente principal es positivo) o menos infinito (si el coeficiente principal es negativo). En símbolos:

$$\lim_{x\to \infty} ~(ax^2+bx+c)=+\infty~~\text{si}~~a>0$$

$$\lim_{x\to \infty} ~(ax^2+bx+c)=-\infty~~\text{si}~~a<0$$

$$\lim_{x\to -\infty} ~(ax^2+bx+c)=+\infty~~\text{si}~~a>0$$

$$\lim_{x\to -\infty} ~(ax^2+bx+c)=-\infty~~\text{si}~~a<0$$

Para valores muy grandes, el término que más aporta a la función es *ax^2.* Nótese que cuando la variable tiende a un número positivo o negativo muy grande, el hecho de estar elevada al cuadrado hace que el resultado siempre sea positivo, dejando el control del signo al número *a.*

Ejemplos:

*\lim_{x\to \infty} ~(2x^2+5x+3)=+\infty* porque *a=2>0*

*\lim_{x\to \infty} ~(-5x^2+3x-2)=-\infty* porque *a=-5<0*

*\lim_{x\to -\infty} ~(x^2-7x+1)=+\infty* porque *a=1>0*

*\lim_{x\to -\infty} ~(-7x^2+x)=-\infty* porque *a=-7<0*

Ejemplos de límite de una función cuadrática en un punto y en el infinito

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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