Límites de funciones exponenciales e indeterminaciones

En este artículo veremos los límites de las funciones exponenciales en un punto y en el infinito. Además, veremos cómo solucionar las indeterminaciones donde intervienen exponenciales.

Recordemos que la función exponencial es del tipo *f(x)=a^x* siendo a un número positivo diferente de 1. La variable de la función está en el exponente. Si la base a es mayor que 1 (a>1), la función exponencial es continua y estrictamente creciente y su dominio es el conjunto de los números reales. Si, por el contrario, a es menor que 1 (0<a<1), la función es estrictamente decreciente.

Límites notables de las funciones exponenciales

Algunos límites notables de las funciones exponenciales son:

*\lim_{x\to 1} a^x=a*

*\lim_{x\to 0} a^x=1*

Cuando a>1:

*\lim_{x\to \infty} a^x=+\infty*

*\lim_{x\to -\infty} a^x=0*

Gráfica de una función exponencial con base mayor a 1. f(x)=a^x. a>1
Gráfica de una función exponencial con base mayor a 1

Ejemplos:

*\lim_{x\to \infty} 5^x=+\infty*

*\lim_{x\to -\infty} 5^x=0*

*\lim_{x\to \infty} 10^x=+\infty*

*\lim_{x\to -\infty} 10^x=0*

Cuando 0<a<1:

*\lim_{x\to +\infty} a^x=0*

*\lim_{x\to -\infty} a^x=+\infty*

grafica exponencial 0 1
Gráfica de una función exponencial con base entre 0 y 1

Ejemplos:

*\lim_{x\to +\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^x=0*

*\lim_{x\to -\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^x=+\infty*

*\lim_{x\to +\infty} \left(\dfrac{5}{7}\right)^x=0*

*\lim_{x\to -\infty} \left(\dfrac{5}{7}\right)^x=+\infty*

Debido a la continuidad, el límite de una función exponencial cuando la variable independiente tiende a un valor del dominio, es igual a la imagen de dicho valor.

$$\lim_{x\to c} a^x=a^c$$

Ejemplos:

*\lim_{x\to 2} 2^x=2^2=4*

*\lim_{x\to 3} 10^x=10^3=1000*

Límites de la función exponencial natural

Si usamos como base de la exponencial al número irracional *e=2,7182…,* la función adquiere la forma *f(x)=e^x* la cual es llamada función exponencial natural. Su dominio es el conjunto de los números reales y su rango el conjunto de los reales positivos.

Los límites notables de la función exponencial natural son:

*\lim_{x\to 1} e^x=e*

*\lim_{x\to 0} e^x=1*

*\lim_{x\to \infty} e^x=+\infty*

*\lim_{x\to -\infty} e^x=0*

Indeterminaciones

Al resolver límites suelen aparecer cocientes donde hay funciones exponenciales. Por ejemplo:

$$\lim_{x\to \infty}\dfrac{3^x-5}{7^x}$$

Al realizar la sustitución directa nos queda una indeterminación ∞/∞. Una forma de proceder en estos casos es dividir numerador y denominador por la función exponencial con base mayor. En nuestro ejemplo, *7^x.*

*\lim_{x\to \infty}\dfrac{3^x-5}{7^x}=\lim_{x\to \infty}\dfrac{\dfrac{3^x}{7^x}-\dfrac{5}{7^x}}{\dfrac{7^x}{7^x}}*

*=\lim_{x\to \infty}\dfrac{\left(\dfrac{3}{7}\right)^x-\dfrac{5}{7^x}}{1}*

Como la base de la exponencial *\left(\dfrac{3}{7}\right)^x* está entre 0 y 1, el límite en el infinito será igual a cero. El término *\dfrac{5}{7^x}* tiende a cero cuando la variable tiende a infinito.

$$\lim_{x\to \infty}\dfrac{\left(\dfrac{3}{7}\right)^x-\dfrac{5}{7^x}}{1}=\dfrac{0-0}{1}=0$$

Gráfica de una función racional cociente de funciones exponenciales
Gráfica de la función del ejemplo. Nótese que las imágenes tienden a cero al alejarse del origen de coordenadas hacia la derecha (+∞)

Límites de una función exponencial compuesta

Si en el lugar de la variable independiente en una función exponencial ubicamos una función f, tendremos la función compuesta *a^{f(x)}.* El límite de esta función exponencial en un punto se puede calcular “moviendo el límite” al exponente, siempre que dicho límite exista.

$$\lim_{x\to c}a^{f(x)}=a^{\lim_{x\to c} f(x)}$$

Ejemplos:

*\lim_{x\to 3} 2^{x+7}=2^{\lim_{x\to 3} (x+7)}=2^{3+7}=2^{10}=1024*

Esta propiedad también se puede usar con límites en el infinito y menos infinito:

*\lim_{x\to \infty} e^{-x+2}=\lim_{x\to \infty} e^{-x+2}= e^{\lim_{x\to \infty}(-x+2)}=e^{-\infty}=\dfrac{1}{e^\infty}=0*

*\lim_{x\to -\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{1/x}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{lim_{x\to -\infty}(1/x)}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^0=1*

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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