Límites de funciones lineales

En este artículo desarrollamos los límites de una función lineal tanto en un punto como en el más infinito y el menos infinito. Además, nos apoyaremos de algunos ejemplos para una mejor compresión.

Recordemos que una función lineal es una función real de la forma *f(x)=mx+b* donde m y b son números reales cualesquiera. Su dominio es el conjunto de los números reales, o sea, *D_f=\mathbb{R}.*

Índice

Límites en un punto

El límite de una función lineal en un punto es igual al valor de la función en dicho punto.

Sea *f(x)=mx+b* donde *m≠0* y *D_f=\mathbb{R},* entonces:

$$\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} ~(mx+b)=ma+b$$

Límite de una función lineal en un punto — En la gráfica se observa que si nos acercamos al punto a, las imágenes de la función se acercan al valor f(a)=ma+b

Ejemplos:

*\lim_{x\to 2} ~(2x+1)=2\cdot 2+1=4+1=5*

*\lim_{x\to -1} ~(3x-5)=3\cdot (-1)-5=-3-5=-8*

*\lim_{x\to 0} -4x=-4\cdot 0=0*

*\lim_{x\to -3}~(-5x+2)=-5\cdot (-3)+2=15+2=17*

*\lim_{x\to \sqrt{2}} ~(-x+1)=-\sqrt{2}+1*

Demostración:

Sea *f(x)=mx+b* donde *m≠0.* Suponemos que el límite de la función en el punto *a* es *L=ma+b.* Con la intención de encontrar un número delta positivo, hacemos:

*|f(x)-L|<\epsilon*

*|mx+b-(ma+b)|<\epsilon*

*|mx+b-ma-b|<\epsilon*

*|mx-ma|<\epsilon*

*|m(x-a)|<\epsilon*

*|m||x-a|<\epsilon* (propiedad del valor absoluto)

*|x-a|<\dfrac{\epsilon}{|m|}*

Entonces, para cada épsilon positivo es posible determinar un delta positivo tal que *\delta≤\dfrac{\epsilon}{|m|},* y se verifica que:

si *|x-a|<\dfrac{\epsilon}{|m|}* entonces *|f(x)-L|<\epsilon*

Por tanto, hemos demostrado que *\lim_{x\to a}~ (mx+b)=ma+b*

Límites en el infinito

El límite de una función lineal cuando la variable independiente tiende a más infinito es más infinito (si la pendiente es positiva) o menos infinito (si la pendiente es negativa). En símbolos:

$$\lim_{x\to \infty}~ (mx+b)=\infty~~\text{si}~~m>0$$

$$\lim_{x\to \infty} ~(mx+b)=-\infty~~\text{si}~~m<0$$

Cuando la variable tiende a menos infinito, el límite de una función lineal es es menos infinito (si la pendiente es positiva) o más infinito (si la pendiente es negativa)

$$\lim_{x\to -\infty} ~(mx+b)=-\infty~~\text{si}~~m>0$$

$$\lim_{x\to -\infty}~ (mx+b)=\infty~~\text{si}~~m<0$$

Ejemplos:

*\lim_{x\to \infty}~ (2x+1)=+\infty* porque *m=2>0*

*\lim_{x\to \infty} ~(-3x-4)=-\infty* porque *m=-3<0*

*\lim_{x\to -\infty} ~(10x+5)=-\infty* porque *m=10>0*

*\lim_{x\to -\infty} ~(-5x-3)=+\infty* porque *m=-5<0*

Bibliografía

Edwards, C. y Penney, D. (1997). Cálculo Diferencial e Integral (4ta edición). Pearson Educación.
Larson, R. y Edwards, B. (2010). Cálculo 1 de una variable (9na edición). McGraw Hill.
Leithold, L. (1998). El Cálculo (7ma edición). Oxford University Press.
Piskunov, N. (1977). Cálculo diferencial e integral (3ra edición). Editorial Mir Moscú.
Rabuffetti, H. (1999). Introducción al Análisis Matemático: Cálculo 1 (15a edición). El Ateneo.
Sadosky, M. y Guber, R. (1984). Elementos de cálculo diferencial e integral (17a edición). Librería y Editorial Alsina.
Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable, trascendentes tempranas (7ma edición). Cengage Learning.
Thomas, G. (2006). Cálculo, una variable (11a edición). Pearson Educación.
Zill, D. y Wright, W. (2011). Cálculo, trascendentes tempranas (4ta edición). McGraw Hill.