Límites de funciones lineales
En este artículo desarrollamos los límites de una función lineal tanto en un punto como en el más infinito y el menos infinito. Además, nos apoyaremos de algunos ejemplos para una mejor compresión.
Recordemos que una función lineal es una función real de la forma *f(x)=mx+b* donde m y b son números reales cualesquiera. Su dominio es el conjunto de los números reales, o sea, *D_f=\mathbb{R}.*
Índice
Límites en un punto
El límite de una función lineal en un punto es igual al valor de la función en dicho punto.
Sea *f(x)=mx+b* donde *m≠0* y *D_f=\mathbb{R},* entonces:
$$\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} ~(mx+b)=ma+b$$
Ejemplos:
*\lim_{x\to 2} ~(2x+1)=2\cdot 2+1=4+1=5*
*\lim_{x\to -1} ~(3x-5)=3\cdot (-1)-5=-3-5=-8*
*\lim_{x\to 0} -4x=-4\cdot 0=0*
*\lim_{x\to -3}~(-5x+2)=-5\cdot (-3)+2=15+2=17*
*\lim_{x\to \sqrt{2}} ~(-x+1)=-\sqrt{2}+1*
Demostración:
Sea *f(x)=mx+b* donde *m≠0.* Suponemos que el límite de la función en el punto *a* es *L=ma+b.* Con la intención de encontrar un número delta positivo, hacemos:
*|f(x)-L|<\epsilon*
*|mx+b-(ma+b)|<\epsilon*
*|mx+b-ma-b|<\epsilon*
*|mx-ma|<\epsilon*
*|m(x-a)|<\epsilon*
*|m||x-a|<\epsilon* (propiedad del valor absoluto)
*|x-a|<\dfrac{\epsilon}{|m|}*
Entonces, para cada épsilon positivo es posible determinar un delta positivo tal que *\delta≤\dfrac{\epsilon}{|m|},* y se verifica que:
si *|x-a|<\dfrac{\epsilon}{|m|}* entonces *|f(x)-L|<\epsilon*
Por tanto, hemos demostrado que *\lim_{x\to a}~ (mx+b)=ma+b*
Límites en el infinito
El límite de una función lineal cuando la variable independiente tiende a más infinito es más infinito (si la pendiente es positiva) o menos infinito (si la pendiente es negativa). En símbolos:
$$\lim_{x\to \infty}~ (mx+b)=\infty~~\text{si}~~m>0$$
$$\lim_{x\to \infty} ~(mx+b)=-\infty~~\text{si}~~m<0$$
Cuando la variable tiende a menos infinito, el límite de una función lineal es es menos infinito (si la pendiente es positiva) o más infinito (si la pendiente es negativa)
$$\lim_{x\to -\infty} ~(mx+b)=-\infty~~\text{si}~~m>0$$
$$\lim_{x\to -\infty}~ (mx+b)=\infty~~\text{si}~~m<0$$
Ejemplos:
*\lim_{x\to \infty}~ (2x+1)=+\infty* porque *m=2>0*
*\lim_{x\to \infty} ~(-3x-4)=-\infty* porque *m=-3<0*
*\lim_{x\to -\infty} ~(10x+5)=-\infty* porque *m=10>0*
*\lim_{x\to -\infty} ~(-5x-3)=+\infty* porque *m=-5<0*
