Límites de funciones polinomiales

Recordemos que una función polinomial tiene la forma:

*f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0*

donde los coeficientes *a_0, a_1, a_2,...., a_{n-1}, a_n* son números reales y todos los exponentes son números naturales. El dominio es el conjunto de los números reales y toda función polinómica es continua, es decir, no tiene saltos, huecos ni asíntotas.

Límite en un punto

Ejemplos

• *\lim_{x\to 1} ~(2x^3-6x^2+5)=2(1)^3-6(1)^2+5=1*
• *\lim_{x\to -2} ~(-x^5+2x^3-x-1)=-(-2)^5+2(-2)^3-(-2)-1=17*
• *\lim_{x\to 0} ~(-3x^4+x^3-13)=-3(0)^4+(0)^3-13=-13*

Límites en el infinito

Una forma sencilla de determinar el signo de infinito es sustituirlo en la función al calcular el límite, por ejemplo, calculemos:

*\lim_{x\to -\infty} ~(-3x^4+x^3-13)*

Primero, sabemos que el único término que importa es el de grado mayor, así que:

*\lim_{x\to -\infty} ~(-3x^4+x^3-13)=\lim_{x\to -\infty} -3x^4*

Sustituimos *-\infty* en la función, nos queda:

*\lim_{x\to -\infty} -3x^4=-3(-\infty)^4*

Recordemos que el símbolo *-\infty* representa un número negativo muy alejado del cero, y todo número negativo elevado a un exponente par da como resultado un número positivo. Esto quiere decir que *(-\infty)^4* dará como resultado un número positivo muy grande, que representamos como *+\infty:*

*\lim_{x\to -\infty} -3x^4=-3\cdot \infty*

Ahora tenemos un número negativo (-3) multiplicado por un número positivo muy grande, el resultado por regla de signos será un número negativo, es decir:

*\lim_{x\to -\infty} -3x^4=-3\cdot \infty=-\infty*

Otros ejemplos

• *\lim_{x\to -\infty} ~(6x^2+x+4)=\lim_{x\to -\infty} 6x^2=6(-\infty)^2=6\cdot \infty=\infty*
• *\lim_{x\to -\infty} ~(2x^3-6x^2+5)=\lim_{x\to -\infty} 2x^3=2(-\infty)^3=2(-\infty)=-\infty*
• *\lim_{x\to -\infty} ~(-x^5+2x^3-x-7)=\lim_{x\to -\infty} -x^5=-(-\infty)^5=-(-\infty)=+\infty*

Cuando se calcula un límite que tiende a infinito positivo, solo debemos fijarnos en el signo del coeficiente principal para determinar el signo del infinito, ya que no importa si el exponente es par o impar, el resultado siempre será un número positivo. Por ejemplo:

• *\lim_{x\to \infty} ~(2x^3-6x^2+5)=+\infty* porque el coeficiente principal es *2>0*
• *\lim_{x\to \infty} ~(-x^5+2x^3-x-7)=-\infty* porque el coeficiente principal es *-1<0*
• *\lim_{x\to \infty} ~(5x^7+3x^5-x^3+6x^2-x+1)=\lim_{x\to \infty} 5x^7=+\infty* porque 5 es positivo.

Demostraciones

Buscamos probar que, dada una función polinómica *f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0,* se cumplen las siguientes propiedades:

1. *\lim_{x\to c} f(x)=f(c)=a_n(c)^n+a_{n-1}(c)^{n-1}+...+a_1(c)+a_0*
2. *\lim_{x\to \pm \infty} f(x)=\lim_{x\to \pm \infty} a_n x^n*

Primer límite

Una función polinomial es una suma de funciones potenciales, así que podemos aplicar en simultáneo los teoremas de límite de una suma, límite de un número por una función y límite de una función constante:

*\lim_{x\to c} (a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0)*

*=\lim_{x\to c} a_n x^n+\lim_{x\to c} a_{n-1}x^{n-1}+...+\lim_{x\to c}a_1x+\lim_{x\to c} a_0*

*=a_n\cdot \lim_{x\to c} x^n+a_{n-1} \cdot \lim_{x\to c} x^{n-1}+...+a_1\cdot \lim_{x\to c}x+\lim_{x\to c} a_0*

Los límites *\lim_{x\to c} x^n,* *\lim_{x\to c} x^{n-1},* ... son límites de funciones potenciales que se pueden calcular por sustitución directa (límites básicos), entonces:

*a_n\cdot \lim_{x\to c} x^n+a_{n-1} \cdot \lim_{x\to c} x^{n-1}+...+a_1\cdot \lim_{x\to c}x+\lim_{x\to c} a_0*

*=a_n\cdot c^n+a_{n-1} \cdot c^{n-1}+...+a_1\cdot c+a_0=f(c)*

Por tanto, hemos demostrado *\lim_{x\to c} (a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0)=f(c).*

Segundo límite

Para demostrar que *\lim_{x\to \pm \infty} (a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0)=\lim_{x\to \pm \infty} a_n x^n,* reescribiremos la función polinomial sacando como factor común a *x^n:*

*\lim_{x\to \pm \infty} f(x)=\lim_{x\to \pm \infty} (a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0)*

*=\lim_{x\to \pm \infty} x^n\left(a_n+\dfrac{a_{n-1}}{x}+...+\dfrac{a_1}{x^{n-1}}+\dfrac{a_0}{x^n}\right)*

Por la propiedad de límite de un producto:

*\lim_{x\to \pm \infty} x^n\left(a_n+\dfrac{a_{n-1}}{x}+...+\dfrac{a_1}{x^{n-1}}+\dfrac{a_0}{x^n}\right)*

*=\lim_{x\to \pm \infty} x^n \cdot \lim_{x\to \pm \infty} \left(a_n+\dfrac{a_{n-1}}{x}+...+\dfrac{a_1}{x^{n-1}}+\dfrac{a_0}{x^n}\right)*

El límite de la derecha tenderá *a_n* porque los demás términos se harán cero, entonces:

*\lim_{x\to \pm \infty} f(x)=\lim_{x\to \pm \infty} x^n \cdot a_n=\lim_{x\to \pm \infty} a_n x^n*

Como queríamos demostrar.

Recursos adicionales

Los siguientes videos explican más ejemplos de cálculo de límites de funciones polinomiales.

Bibliografía

• Edwards, C. y Penney, D. (1997). Cálculo Diferencial e Integral (4ta edición). Pearson Educación.
• Larson, R. y Edwards, B. (2010). Cálculo 1 de una variable (9na edición). McGraw Hill.
• Leithold, L. (1998). El Cálculo (7ma edición). Oxford University Press.
• Piskunov, N. (1977). Cálculo diferencial e integral (3ra edición). Editorial Mir Moscú.
• Rabuffetti, H. (1999). Introducción al Análisis Matemático: Cálculo 1 (15a edición). El Ateneo.
• Sadosky, M. y Guber, R. (1984). Elementos de cálculo diferencial e integral (17a edición). Librería y Editorial Alsina.
• Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable, trascendentes tempranas (7ma edición). Cengage Learning.
• Thomas, G. (2006). Cálculo, una variable (11a edición). Pearson Educación.
• Zill, D. y Wright, W. (2011). Cálculo, trascendentes tempranas (4ta edición). McGraw Hill.

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