Límites de funciones polinómicas

En este artículo estudiamos los límites de una función polinómica tanto en un punto como en el más infinito y menos infinito.

Recordemos que una función polinómica es una función real de la forma *f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0* donde los *a_0,a_1,a_2,....,a_{n-1},a_n* son números reales y todos los exponentes son números naturales. El dominio de una función polinómica es el conjunto de los números reales, o sea, *D_f=\mathbb{R}.*

Índice

Límite en un punto

El límite de una función polinómica en un punto es igual al valor de la función en ese punto.

Sea la función polinómica *f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0* con *D_f=\mathbb{R},* entonces:

$$\lim_{x\to p} f(x)=f(p)=a_n(p)^n+a_{n-1}(p)^{n-1}+...+a_1(p)+a_0$$

Ejemplos:

*\lim_{x\to 1} ~(2x^3-6x^2+5)=2(1)^3-6(1)^2+5=1*

*\lim_{x\to -2} ~(-x^5+2x^3-x-1)=-(-2)^5+2(-2)^3-(-2)-1=17*

*\lim_{x\to 0} ~(-3x^4+x^3-13)=-3(0)^4+(0)^3-13=-13*

Ejemplo del límite de una función polinómica en un punto — Puede verse que cuando la variable se acerca a 1, las imágenes de la función polinómica se acercan a 1.

Límites en el infinito

El límite de una función polinómica cuando la variable independiente tiende a más infinito es más infinito (si el coeficiente principal es positivo) o menos infinito (si el coeficiente principal es negativo). En símbolos:

$$\lim_{x\to \infty} f(x)=+\infty~~\text{si}~~a_n>0$$

$$\lim_{x\to \infty} f(x)=-\infty~~\text{si}~~a_n<0$$

Recordemos que el coeficiente principal de un polinomio es el número que multiplica a la *x* de mayor exponente.

Ejemplos:

*\lim_{x\to \infty} ~(2x^3-6x^2+5)=+\infty* porque el coeficiente principal es *2>0*

*\lim_{x\to \infty} ~(-x^5+2x^3-x-7)=-\infty* porque el coeficiente principal es *-1<0*

El límite de una función polinómica cuando la variable independiente tiende a menos infinito es:

Más infinito, si el coeficiente principal es positivo y el grado es par o si el coeficiente principal es negativo y el grado impar.
Menos infinito, si el coeficiente principal es negativo y el grado par o si el coeficiente principal es positivo y el grado impar.

En símbolos:

*\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty* si *a_n>0* y *n* es par

*\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty* si *a_n<0* y *n* es impar

*\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty* si *a_n<0* y *n* es par

*\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty* si *a_n>0* y *n* es impar

No es conveniente memorizar estos casos sino entender la lógica que hay detrás. Se puede demostrar que el límite de una función polinómica cuando la variable toma valores positivos o negativos muy grandes depende del coeficiente principal. Es decir:

$$\lim_{x\to \infty} ~(a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0)=\lim_{x\to \infty} a_nx^n$$

$$\lim_{x\to -\infty} ~(a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0)=\lim_{x\to -\infty} a_nx^n$$

Por ejemplo: *\lim_{x\to \infty} ~(5x^7+3x^5-x^3+6x^2-x+1)=\lim_{x\to \infty} 5x^7*

Esto es así porque, para números muy grandes, el coeficiente principal es quien más aporta al valor de la función.

Cuando la variable toma valores negativos muy grandes pero está elevada a un exponente par, el número será positivo. Entonces, el signo dependerá del coeficiente que acompañe a la variable: si es positivo, el resultado será positivo; si es negativo, el resultado será negativo.

Ejemplos:

*\lim_{x\to -\infty} ~(-3x^4+x^3-13)=\lim_{x\to -\infty} -3x^4=-\infty* porque el coeficiente es negativo y el exponente mayor es par.

Para entenderlo mejor: *\lim_{x\to -\infty} -3x^4=-3(-\infty)^4=-3\cdot \infty=-\infty*

*\lim_{x\to -\infty} ~(6x^2+x+4)=\lim_{x\to -\infty} 6x^2=+\infty* porque *6(-\infty)^2=6\cdot \infty=\infty*

En cambio, cuando la variable toma valores negativos muy grandes y está elevada a un exponente impar, el número resultante sigue conservando el signo negativo. Por tanto, será necesario estudiar el valor del coeficiente: si es negativo, el resultado será positivo (negativo por negativo es positivo); si es positivo, el resultado será negativo (positivo por negativo es negativo).

Ejemplos:

*\lim_{x\to -\infty} ~(2x^3-6x^2+5)=\lim_{x\to -\infty} 2x^3=2(-\infty)^3=2(-\infty)=-\infty*

*\lim_{x\to -\infty} ~(-x^5+2x^3-x-7)=\lim_{x\to -\infty} -x^5=-(-\infty)^5=-(-\infty)=+\infty*