Límites de funciones hiperbólicas

En este artículo estudiamos los límites de las funciones hiperbólicas en un punto especial y en el más infinito y menos infinito. Este trabajo nos permite conocer cuáles son las asíntotas horizontales o verticales de cada función, si es que existen.

Límites del seno hiperbólico

La función seno hiperbólico se define de la siguiente forma:

$$\sinh(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$$

Límite en cero:

$$\lim_{x\to 0}~\sinh(x)=0$$

Límites en el infinito:

$$\lim_{x\to \infty}~\sinh(x)=\infty$$

$$\lim_{x\to -\infty}~\sinh(x)=-\infty$$

Asíntotas: No tiene

Límites del coseno hiperbólico

La función coseno hiperbólico se define de la siguiente forma:

$$\cosh(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$$

Límite en cero:

$$\lim_{x\to 0}~\cosh(x)=1$$

Límites en el infinito:

$$\lim_{x\to \infty}~\cosh(x)=+\infty$$

$$\lim_{x\to -\infty}~\cosh(x)=+\infty$$

Asíntotas: No tiene

Límites de la tangente hiperbólica

La función tangente hiperbólica se define de la siguiente forma:

$$\tanh(x)=\dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$

Límite en cero:

$$\lim_{x\to 0}~\tanh(x)=0$$

Límites en el infinito:

$$\lim_{x\to \infty}~\tanh(x)=1$$

$$\lim_{x\to -\infty}~\tanh(x)=-1$$

Asíntotas horizontales: 

*y=1*

*y=-1*

Límites de la cosecante hiperbólica

La función cosecante hiperbólica se define de la siguiente forma:

$$\text{csch}(x)=\dfrac{1}{\sinh(x)}=\dfrac{2}{e^x-e^{-x}}$$

Límite en cero:

$$\lim_{x\to 0}~\text{csch}(x)=\infty$$

Límites en el infinito:

$$\lim_{x\to \infty}~\text{csch}(x)=0$$

$$\lim_{x\to -\infty}~\text{csch}(x)=0$$

Asíntota horizontal: *y=0*

Asíntota vertical: *x=0*

Límites de la secante hiperbólica

La función secante hiperbólica se define de la siguiente forma:

$$\text{sech}(x)=\dfrac{1}{\cosh(x)}=\dfrac{2}{e^x+e^{-x}}$$

Límite en cero:

$$\lim_{x\to 0}~\text{sech}(x)=1$$

Límites en el infinito:

$$\lim_{x\to \infty}~\text{sech}(x)=0$$

$$\lim_{x\to -\infty}~\text{sech}(x)=0$$

Asíntota horizontal: *y=0*

Límites de la cotangente hiperbólica

La función cotangente hiperbólica se define de la siguiente forma:

$$\coth(x)=\dfrac{1}{\tanh(x)}=\dfrac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$$

Límite en cero:

$$\lim_{x\to 0}~\coth(x)=\infty$$

Límites en el infinito:

$$\lim_{x\to \infty}~\coth(x)=1$$

$$\lim_{x\to -\infty}~\coth(x)=-1$$

Asíntotas horizontales: 

*y=1*

*y=-1*

Asíntota vertical: *x=0*

Bibliografía

• Edwards, C. y Penney, D. (1997). Cálculo Diferencial e Integral (4ta edición). Pearson Educación.
• Larson, R. y Edwards, B. (2010). Cálculo 1 de una variable (9na edición). McGraw Hill.
• Leithold, L. (1998). El Cálculo (7ma edición). Oxford University Press.
• Piskunov, N. (1977). Cálculo diferencial e integral (3ra edición). Editorial Mir Moscú.
• Rabuffetti, H. (1999). Introducción al Análisis Matemático: Cálculo 1 (15a edición). El Ateneo.
• Sadosky, M. y Guber, R. (1984). Elementos de cálculo diferencial e integral (17a edición). Librería y Editorial Alsina.
• Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable, trascendentes tempranas (7ma edición). Cengage Learning.
• Thomas, G. (2006). Cálculo, una variable (11a edición). Pearson Educación.
• Zill, D. y Wright, W. (2011). Cálculo, trascendentes tempranas (4ta edición). McGraw Hill.

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