Límites de funciones hiperbólicas

En este artículo estudiamos los límites de las funciones hiperbólicas en un punto especial y en el más infinito y menos infinito. Este trabajo nos permite conocer cuáles son las asíntotas horizontales o verticales de cada función, si es que existen.

Límites del seno hiperbólico

La función seno hiperbólico se define de la siguiente forma:

$$\sinh(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$$

Gráfica de la función seno hiperbólico
Gráfica de la función seno hiperbólico

Límite en cero:

$$\lim_{x\to 0}~\sinh(x)=0$$

Límites en el infinito:

$$\lim_{x\to \infty}~\sinh(x)=\infty$$

$$\lim_{x\to -\infty}~\sinh(x)=-\infty$$

Asíntotas: No tiene

Límites del coseno hiperbólico

La función coseno hiperbólico se define de la siguiente forma:

$$\cosh(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$$

Gráfica de la función coseno hiperbólico
Gráfica de la función coseno hiperbólico

Límite en cero:

$$\lim_{x\to 0}~\cosh(x)=1$$

Límites en el infinito:

$$\lim_{x\to \infty}~\cosh(x)=+\infty$$

$$\lim_{x\to -\infty}~\cosh(x)=+\infty$$

Asíntotas: No tiene

Límites de la tangente hiperbólica

La función tangente hiperbólica se define de la siguiente forma:

$$\tanh(x)=\dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$

Gráfica de la función tangente hiperbólica
Gráfica de la función tangente hiperbólica

Límite en cero:

$$\lim_{x\to 0}~\tanh(x)=0$$

Límites en el infinito:

$$\lim_{x\to \infty}~\tanh(x)=1$$

$$\lim_{x\to -\infty}~\tanh(x)=-1$$

Asíntotas horizontales: 

*y=1*

*y=-1*

Límites de la cosecante hiperbólica

La función cosecante hiperbólica se define de la siguiente forma:

$$\text{csch}(x)=\dfrac{1}{\sinh(x)}=\dfrac{2}{e^x-e^{-x}}$$

Gráfica de la función cosecante hiperbólica
Gráfica de la función cosecante hiperbólica

Límite en cero:

$$\lim_{x\to 0}~\text{csch}(x)=\infty$$

Límites en el infinito:

$$\lim_{x\to \infty}~\text{csch}(x)=0$$

$$\lim_{x\to -\infty}~\text{csch}(x)=0$$

Asíntota horizontal: *y=0*

Asíntota vertical: *x=0*

Límites de la secante hiperbólica

La función secante hiperbólica se define de la siguiente forma:

$$\text{sech}(x)=\dfrac{1}{\cosh(x)}=\dfrac{2}{e^x+e^{-x}}$$

Gráfica de la función secante hiperbólica
Gráfica de la función secante hiperbólica

Límite en cero:

$$\lim_{x\to 0}~\text{sech}(x)=1$$

Límites en el infinito:

$$\lim_{x\to \infty}~\text{sech}(x)=0$$

$$\lim_{x\to -\infty}~\text{sech}(x)=0$$

Asíntota horizontal: *y=0*

Límites de la cotangente hiperbólica

La función cotangente hiperbólica se define de la siguiente forma:

$$\coth(x)=\dfrac{1}{\tanh(x)}=\dfrac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$$

Gráfica de la función cotangente hiperbólica
Gráfica de la función cotangente hiperbólica

Límite en cero:

$$\lim_{x\to 0}~\coth(x)=\infty$$

Límites en el infinito:

$$\lim_{x\to \infty}~\coth(x)=1$$

$$\lim_{x\to -\infty}~\coth(x)=-1$$

Asíntotas horizontales: 

*y=1*

*y=-1*

Asíntota vertical: *x=0*

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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