Límites trigonométricos indeterminados

En este artículo explicamos cómo resolver límites indeterminados que involucran funciones trigonométricas con ejemplos y ejercicios resueltos.

Índice

Límites trigonométricos importantes

Existen una serie de límites trigonométricos útiles de los cuales conocemos el valor y podemos usar para calcular otros límites. El primero es llamado el límite fundamental y lo demostramos en este artículo, los otros dos se derivan del primero.

Límites trigonométricos importantes

*\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1*

*\lim_{x\to 0} \dfrac{\cos x-1}{x}=0*

*\lim_{x\to 0} \dfrac{\tan x}{x}=1*

Identidades trigonométricas útiles para calcular límites

La tangente es igual al seno sobre coseno: *\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}*

Identidades pitagóricas:

*\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1*

*1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)*

*1 + \cot^2(x) = \csc^2(x)*

Identidades recíprocas:

Cosecante: *\csc(x) = \dfrac{1}{\sin(x)}*

Secante: *\sec(x) = \dfrac{1}{\cos(x)}*

Cotangente: *\cot(x) = \dfrac{1}{\tan(x)}*

Identidades de ángulo doble:

*\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)*

*\cos(2x)=\cos^2(x) - \sin^2(x)*

*\tan(2x)=\dfrac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}*

Identidades de suma y resta:

*\sin(a \pm b) = \sin(a)\cos(b) \pm \cos(a)\sin(b)*

*\cos(a \pm b) = \cos(a)\cos(b) \mp \sin(a)\sin(b)*

*\tan(a \pm b) = \dfrac{\tan(a) \pm \tan(b)}{1 \mp \tan(a)\tan(b)}*

Ejercicios resueltos de límites trigonométricos indeterminados 0/0

Ejercicio 1: *\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\sin x}*

Solución: El límite es muy parecido al fundamental, pero numerador y denominador están invertidos. Sin embargo, podemos resolverlo usando artificios algebraicos y propiedades de límites:

*\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\sin x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{x\cdot (1/x)}{\sin x\cdot (1/x)}*

*=\lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{x}{x}}{\dfrac{\sin x}{x}}*

*=\lim_{x\to 0} \dfrac{1}{\dfrac{\sin x}{x}}*

*=\dfrac{\lim_{x\to 0} 1}{\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}}*

*=\dfrac{1}{1}*

*=1*

Por tanto, *\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\sin x}=1*

Ejercicio 2: *\lim_{x\to 0}\dfrac{2x}{\tan x}*

Solución: Podemos recurrir a una identidad trigonométrica para reescribir esta expresión y luego usar propiedades algebraicas y de límites.

*\lim_{x\to 0}\dfrac{2x}{\tan x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{2x}{\dfrac{\sin x}{\cos x}}*

*=\lim_{x\to 0}\dfrac{2x\cos x}{\sin x}*

*=2\cdot \lim_{x\to 0}\dfrac{x\cos x}{\sin x}*

*=2\cdot \lim_{x\to 0} \left(\dfrac{x}{\sin x}\cdot \cos x\right)*

*=2\cdot \left(\lim_{x\to 0} \dfrac{x}{\sin x}\right)\left(\lim_{x\to 0}\cos x\right)*

*=2\cdot (1)\cdot (1)*

*=2*

Entonces: *\lim_{x\to 0}\dfrac{2x}{\tan x}=2*

Ejercicio 3: *\lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-x+\sin x}{2x}*

Solución: Recurrimos a propiedades algebraicas y de límites para reescribir y resolver.

*\lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-x+\sin x}{2x}=\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{x^2-x}{2x}+\dfrac{\sin x}{2x}\right)*

*=\lim_{x\to 0} \dfrac{x^2-x}{2x}+\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{2x}*

*=\lim_{x\to 0} \dfrac{x(x-1)}{2x}+\dfrac{1}{2} \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}*

*=\lim_{x\to 0} \dfrac{x-1}{2}+\dfrac{1}{2} \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}*

*=\dfrac{0-1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot 1*

*=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}*

*=0*

Ejercicio 4: *\lim_{x\to 0}\dfrac{x+x\cos x}{\sin x \cos x}*

Solución:

*\lim_{x\to 0}\dfrac{x+x\cos x}{\sin x \cos x}=\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{x}{\sin x \cos x}+\dfrac{x\cos x}{\sin x \cos x}\right)*

*=\lim_{x\to 0}\left( \dfrac{x}{\sin x \cos x}+\dfrac{x}{\sin x}\right)*

*=\lim_{x\to 0} \dfrac{x}{\sin x}\cdot \lim_{x\to 0}\dfrac{1}{\cos x}+\lim_{x\to 0} \dfrac{x}{\sin x}*

*=1\cdot 1+1*

*=2*

Ejercicio 5: *\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x^2\cot 3x}*

Solución:

*\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x^2\cot 3x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x^2\dfrac{1}{\tan(3x)}}*

*=\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x\cdot \tan(3x)}{x^2}*

*=\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x}\cdot \dfrac{\tan(3x)}{x}*

*=\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x}\cdot 3\cdot \lim_{x\to 0} \dfrac{\tan(3x)}{3x}*

*=1\cdot 3\cdot 1*

*=3*

Ejercicio 6: *\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan^2 x}{x}*

Solución:

*\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan^2 x}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{x}*

*=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin^2 x}{x \cos^2 x}*

*=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x \sin x}{x \cos^2 x}*

*=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}\cdot \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}*

*=1\cdot \dfrac{0}{1}*

*=0*

Ejercicio 7: *\lim_{t\to 0}\dfrac{\sin^2 t}{t^2}*

Solución:

*\lim_{t\to 0}\dfrac{\sin^2 t}{t^2}=\lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t\cdot \sin t}{t\cdot t}*

*=\lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t} \cdot \lim_{t\to 0} \dfrac{\sin t}{t}*

*=1\cdot 1*

*=1*

Ejercicio 8: *\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin (\sin x)}{\sin x}*

Solución: haciendo *u=\sin x, u\to 0* cuando *x\to 0,* entonces:

*\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin (\sin x)}{\sin x}=\lim_{u\to 0}\dfrac{\sin (u)}{u}*

*=1*

Ejercicio 9: *\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 5x}{\sin4x}*

Solución: En este caso tenemos una división de senos con diferentes argumentos lineales, podemos aplicar propiedades para probar que el valor del límite es el cociente de los argumentos.

*\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 5x}{\sin4x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{x\sin 5x}{x\sin4x}*

*=\lim_{x\to 0}\dfrac{5\cdot 4x\sin 5x}{4\cdot 5x\sin4x}*

*=\dfrac{5}{4} \cdot \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 5x}{5x}\cdot \lim_{x\to 0}\dfrac{4x}{\sin 4x}*

*=\dfrac{5}{4} \cdot 1 \cdot 1*

*=\dfrac{5}{4}*

Ejercicio 10: *\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin (mx)}{\sin(nx)}*

Solución: ahora resolvemos el caso general en base a lo que hicimos en el ejercicio anterior.

*\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin (mx)}{\sin(nx)}=\lim_{x\to 0}\dfrac{mnx\sin (mx)}{nmx\sin(nx)}*

*=\dfrac{m}{n}\cdot \lim_{x\to 0}\dfrac{nx\sin (mx)}{mx\sin(nx)}*

*=\dfrac{m}{n}\cdot \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin (mx)}{mx}\lim_{x\to 0} \dfrac{nx}{\sin(nx)}*

*=\dfrac{m}{n}\cdot 1\cdot 1*

*=\dfrac{m}{n}*