Límites de funciones constantes

En este artículo exploramos los límites de una función constante en un punto y en el más infinito y el menos infinito. Además, veremos algunos ejemplos para una mejor compresión.

Recordemos que una función constante es una función real de la forma *f(x)=k* donde k es un número real cualquiera. Su dominio es el conjunto de los números reales y su rango es el conjunto {k}, o sea *D_f=\mathbb{R}* y *R_f=\{k\}.*

Índice

Límite en un punto

El límite de una función constante en un punto es igual al valor de la función en el punto, o sea, la misma constante.

Sea *f(x)=k* una función definida en *\mathbb{R}* y *k* un número real, entonces:

$$\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} k=k$$

Límite de una función constante gráficamente — En la gráfica se observa que si nos acercamos al punto a, las imágenes de la función se acercan al valor k

Demostración:

Probar que el número *k* es el límite buscado significa encontrar, para cualquier número positivo épsilon, un número positivo delta que satisfaga la condición exigida por la definición.

En este caso, delta es cualquier número positivo, pues para cualquier épsilon y para cualquier delta positivo, resulta que:

Si *0<|x-a|<\delta,* entonces *|k-k|=0<\epsilon*

O sea, se verifica la definición de límite para *f(x)=k* y para *L=k*

Ejemplos:

Si *f(x)=5,* entonces *\lim_{x\to 9} f(x)=\lim_{x\to 9} 5=5*

*\lim_{x\to 3} -20=-20*

*\lim_{x\to -1} \sqrt{2}=\sqrt{2}*

*\lim_{x\to -\frac{2}{3}} -3=-3*

Límites en el infinito

El límite de la función constante cuando la variable tiende a más infinito o a menos infinito es igual al valor de la constante:

$$\lim_{x\to \infty} k=k$$

$$\lim_{x\to -\infty} k=k$$

Ejemplos:

Si *f(x)=-1,* entonces *\lim_{x\to \infty} f(x)=\lim_{x\to \infty} -1=-1*

*\lim_{x\to -\infty} 17=17*

*\lim_{x\to \infty} -\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{3}*

*\lim_{x\to -\infty} 5=5*

Bibliografía

Edwards, C. y Penney, D. (1997). Cálculo Diferencial e Integral (4ta edición). Pearson Educación.
Larson, R. y Edwards, B. (2010). Cálculo 1 de una variable (9na edición). McGraw Hill.
Leithold, L. (1998). El Cálculo (7ma edición). Oxford University Press.
Piskunov, N. (1977). Cálculo diferencial e integral (3ra edición). Editorial Mir Moscú.
Rabuffetti, H. (1999). Introducción al Análisis Matemático: Cálculo 1 (15a edición). El Ateneo.
Sadosky, M. y Guber, R. (1984). Elementos de cálculo diferencial e integral (17a edición). Librería y Editorial Alsina.
Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable, trascendentes tempranas (7ma edición). Cengage Learning.
Thomas, G. (2006). Cálculo, una variable (11a edición). Pearson Educación.
Zill, D. y Wright, W. (2011). Cálculo, trascendentes tempranas (4ta edición). McGraw Hill.