Límites de la función identidad
En este artículo exploramos los límites de la función identidad tanto en un punto como en el más infinito y el menos infinito junto con algunos ejemplos para una mejor compresión.
Recordemos que la función identidad es una función real de la forma *f(x)=x.* Su dominio y su rango son el conjunto de los números reales, o sea *D_f=\mathbb{R}* y *R_f=\mathbb{R}.*
Índice
Límites en un punto
El límite de la función identidad en un punto es igual al valor en ese punto.
Sea la función identidad *f(x)=x* donde *D_f=\mathbb{R},* entonces:
$$\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} x=a$$
Ejemplos:
*\lim_{x\to 4} x=4*
*\lim_{x\to -2} x=-2*
*\lim_{x\to \sqrt{2}} x=\sqrt{2}*
*\lim_{x\to 0} x=0*
Demostración:
Para demostrar que *\lim_{x\to a} x=a* debemos, para cada *\epsilon* positivo, encontrar un *\delta* positivo tal que para toda *x* ocurra que:
si *0<|x-a|<\delta* entonces *|x-a|<\epsilon*
La implicación se cumplirá si *\delta* es igual a *\epsilon* o cualquier número positivo menor. Por tanto, *\lim_{x\to a} x=a*
Límites en el infinito
El límite de la función identidad cuando la variable tiende a más infinito o a menos infinito es igual a más infinito y menos infinito respectivamente:
$$\lim_{x\to \infty} x=\infty$$
$$\lim_{x\to -\infty} x=-\infty$$
