Propiedades del valor absoluto
En este artículo desarrollamos y explicamos las propiedades del valor absoluto de un número real y cómo aplicarlas para resolver problemas. Además, veremos las demostraciones de las propiedades más importantes.
Índice
Propiedades generales
Recordemos que el valor absoluto o módulo de un número real es una cantidad no negativa que representa su distancia al cero en la recta numérica y se simboliza con dos barras verticales alrededor del número. Por ejemplo: |5|=5, |-6|=6, |0|=0. Sus propiedades fundamentales son:
- El valor absoluto de un número siempre es no negativo: *|a|≥0*
- El valor absoluto es cero sólo cuando el número es cero: *|a|=0* si y sólo si *a=0*
- El valor absoluto de cualquier número distinto de cero es positivo. Si *a≠0,* entonces *|a|>0*
- El valor absoluto de un número y de su opuesto son iguales: *|a|=|-a|.* Ejemplo: *|5|=|-5|=5*
- El valor absoluto siempre es mayor o igual que el número original: *|a|≥a.* Es mayor cuando el número original es negativo. Es igual cuando el número es no negativo. Ampliando podemos decir que: *-|a|≤a≤|a|.* Ejemplo: si *a=-2,* *-|-2|≤-2≤|-2|→-2≤-2≤2*
- Si el valor absoluto de un número *a* es menor o igual que un no negativo *b,* entonces *a* está entre *b* y su opuesto. Si *|a|≤b,* entonces *-b≤a≤b.* Ejemplo: si *|a|≤5,* entonces *-5≤a≤5;* cuando *a=-4,* *-5≤-4≤5.*
- Si el valor absoluto de un número *a* es mayor o igual que un no negativo *b,* entonces *a* es mayor o igual que *b* o *a* es menor o igual que *-b.* Si *|a|≥b,* entonces *a≥b* o *a≤-b.* Ejemplo: si *|a|≥6,* entonces *a≥6* o *a≤-6;* si *a=8,* *8≥6* o *8≤-6* (en este caso es verdadera la primera desigualdad).
- El valor absoluto de un número *a* es igual a *b* si y sólo si *b* es igual que *a* o su opuesto. *|a|=b* si y sólo si *a=±b*
Propiedades de las operaciones
Para resolver ecuaciones o desigualdades (inecuaciones) que contienen valores absolutos, con frecuencia es muy útil usar las siguientes leyes.
Valor absoluto de la multiplicación
El valor absoluto del producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores:
*|ab|=|a||b|*
Ejemplos:
*|(-2)\cdot 5|=|-2|\cdot |5|=2\cdot 5=10*
*|(-7)(-4)|=|-7||-4|=28*
Valor absoluto de la división
El valor absoluto de un cociente es igual al cociente de los valores absolutos de numerador entre denominador:
*\left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}* con *b≠0*
Ejemplos:
*\left|\dfrac{-2}{3}\right|=\dfrac{|-2|}{|3|}=\dfrac{2}{3}*
*\left|\dfrac{-9}{-3}\right|=\dfrac{|-9|}{|-3|}=\dfrac{9}{3}=3*
Valor absoluto de la suma
El valor absoluto de la suma de dos números reales es menor o igual que la suma de los valores absolutos de esos números. Esta es llamada desigualdad triangular.
*|a+b|≤|a|+|b|*
Si *a* y *b* son del mismo signo, vale el signo igual, mientras que si *a* y *b* son de distinto signo vale el signo menor.
Ejemplos:
*|2+3|≤|2|+|3|→|5|≤5→5≤5*
*|-3-5|≤|-3|+|-5|→|-8|≤8→8≤8*
*|7-4|≤|7|+|-4|→3≤11*
Valor absoluto de la resta
El valor absoluto de la diferencia de dos números es mayor o igual a la diferencia de los valores absolutos del minuendo y el sustraendo.
*|a-b|≥|a|-|b|*
Ejemplos:
*|2-5|≥|2|-|5|~→~|-3|≥-3~→~3≥-3*
*|-4-1|≥|-4|-|1|~→~|-5|≥3~→~5≥3*
Valor absoluto de una potencia
El valor absoluto de una potencia es igual a la potencia del valor absoluto de la base.
*|a^n|=|a|^n*
Ejemplos:
*|2^2|=|2|^2=2^2=4*
*|(-5)^3|=|-5|^3=5^3=125*
*|-\sqrt{2}|=|-2^{1/2}|=|-2|^{1/2}=2^{1/2}=\sqrt{2}*
Demostraciones
La mayoría de las leyes del valor absoluto se demuestran a partir de la definición, porque son consecuencia directa de ella. Demostraremos a continuación la propiedad del producto y las del valor absoluto de una suma y una resta.
Demostración del valor absoluto de un producto
Buscamos demostrar que *|ab|=|a||b|.*
1) Suponemos que *ab>0,* es decir que *a* y *b* tienen el mismo signo. Entonces, *|ab|=ab* por definición. Como también *|a||b|=ab,* se deduce que *|ab|=|a||b|.*
2) Suponemos ahora que *ab<0,* es decir que *a* y *b* tienen signos contrarios. Por definición, *|ab|=-ab.* Ahora, *|a||b|=-ab* (porque uno de los dos números es negativo). Entonces, se deduce que *|ab|=|a||b|*
Como el caso de *ab=0* se prueba de forma sencilla, hemos demostrado que *|ab|=|a||b|.*
Los teoremas de la división y de la potencia se prueban de forma similar a la que usamos aquí.
Demostración de la desigualdad triangular
Buscamos demostrar que *a+b≤|a|+|b|.* Primero, supongamos que *a+b≥0.* Entonces:
*|a+b|=a+b* por definición de valor absoluto.
Pero, como *a≤|a|* y *b≤|b|,* sumando se tiene que *a+b≤|a|+|b|.* Como *a+b=|a+b|,* se tiene que:
*|a+b|≤|a|+|b|*
Ahora, supongamos que *a+b<0.* Entonces:
*|a+b|=-(a+b)* por definición.
Pero, *-(a+b)=(-a)+(-b).* Como *-a≤|a|* y *-b≤|b|,* entonces: *(-a)+(-b)≤|a|+|b|,* y a partir de la primera igualdad se deduce que:
*|a+b|≤|a|+|b|*
Como se quería demostrar.
Demostración del valor absoluto de una diferencia
Buscamos demostrar que *|a-b|≥|a|-|b|.* Supongamos que *a-b=c,* entonces *a=b+c,* y, según la desigualdad triangular, se tiene que:
*|a|=|b+c|≤|b|+|c|*
Pero, como *c=a-b,* se obtiene *|a|≤|b|+|a-b|.* Reordenando esta expresión se tiene que:
*|a|-|b|≤|a-b|~* o *~|a-b|≥|a|-|b|*
Como se quería demostrar.
