Propiedades del valor absoluto

En este artículo desarrollamos y explicamos las propiedades del valor absoluto de un número real y cómo aplicarlas para resolver problemas. Además, veremos las demostraciones de las propiedades más importantes.

Propiedades generales 

A continuación vemos las propiedades fundamentales del módulo de un número.

  1. El valor absoluto de un número siempre es no negativo: *|a|≥0*
  2. El valor absoluto es cero sólo cuando el número es cero: *|a|=0* si y sólo si *a=0*
  3. El valor absoluto de cualquier número distinto de cero es positivo. Si *a≠0,* entonces *|a|>0*
  4. El valor absoluto de un número y de su opuesto son iguales: *|a|=|-a|.* Ejemplo: *|5|=|-5|=5*
  5. El valor absoluto siempre es mayor o igual que el número original: *|a|≥a.* Es mayor cuando el número original es negativo. Es igual cuando el número es no negativo. Ampliando podemos decir que: *-|a|≤a≤|a|.* Ejemplo: si *a=-2,* *-|-2|≤-2≤|-2|→-2≤-2≤2*
  6. Si el valor absoluto de un número *a* es menor o igual que un no negativo *b,* entonces *a* está entre *b* y su opuesto. Si *|a|≤b,* entonces *-b≤a≤b.* Ejemplo: si *|a|≤5,* entonces *-5≤a≤5;* cuando *a=-4,* *-5≤-4≤5.*  
  7. Si el valor absoluto de un número *a* es mayor o igual que un no negativo *b,* entonces *a* es mayor o igual que *b* o *a* es menor o igual que *-b.* Si *|a|≥b,* entonces *a≥b* o *a≤-b.* Ejemplo: si *|a|≥6,* entonces *a≥6* o *a≤-6;* si *a=8,* *8≥6* o *8≤-6* (en este caso es verdadera la primera desigualdad).
  8. El valor absoluto de un número *a* es igual a *b* si y sólo si *b* es igual que *a* o su opuesto. *|a|=b* si y sólo si *a=±b*

Propiedades de las operaciones

Para resolver ecuaciones o desigualdades (inecuaciones) que contienen valores absolutos, con frecuencia es muy útil usar las siguientes leyes. 

Valor absoluto de la multiplicación

El valor absoluto del producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores:

*|ab|=|a||b|*

Ejemplos:

*|(-2)\cdot 5|=|-2|\cdot |5|=2\cdot 5=10*

*|(-7)(-4)|=|-7||-4|=28*

Valor absoluto de la división

El valor absoluto de un cociente es igual al cociente de los valores absolutos de numerador entre denominador: 

*\left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}* con *b≠0*

Ejemplos:

*\left|\dfrac{-2}{3}\right|=\dfrac{|-2|}{|3|}=\dfrac{2}{3}*

*\left|\dfrac{-9}{-3}\right|=\dfrac{|-9|}{|-3|}=\dfrac{9}{3}=3*

Valor absoluto de la suma

El valor absoluto de la suma de dos números reales es menor o igual que la suma de los valores absolutos de esos números. Esta es llamada desigualdad triangular.

*|a+b|≤|a|+|b|*

Si *a* y *b* son del mismo signo, vale el signo igual, mientras que si *a* y *b* son de distinto signo vale el signo menor.

Ejemplos:

*|2+3|≤|2|+|3|→|5|≤5→5≤5*

*|-3-5|≤|-3|+|-5|→|-8|≤8→8≤8*

*|7-4|≤|7|+|-4|→3≤11*

Valor absoluto de la resta

El valor absoluto de la diferencia de dos números es mayor o igual a la diferencia de los valores absolutos del minuendo y el sustraendo.

*|a-b|≥|a|-|b|*

Ejemplos:

*|2-5|≥|2|-|5|~→~|-3|≥-3~→~3≥-3*

*|-4-1|≥|-4|-|1|~→~|-5|≥3~→~5≥3*

Valor absoluto de una potencia

El valor absoluto de una potencia es igual a la potencia del valor absoluto de la base.

*|a^n|=|a|^n*

Ejemplos:

*|2^2|=|2|^2=2^2=4*

*|(-5)^3|=|-5|^3=5^3=125*

*|-\sqrt{2}|=|-2^{1/2}|=|-2|^{1/2}=2^{1/2}=\sqrt{2}*

Demostraciones

La mayoría de las leyes del valor absoluto se demuestran a partir de la definición, porque son consecuencia directa de ella. Demostraremos a continuación la propiedad del producto y las del valor absoluto de una suma y una resta.

Demostración del valor absoluto de un producto

Buscamos demostrar que *|ab|=|a||b|.*

1) Suponemos que *ab>0,* es decir que *a* y *b* tienen el mismo signo. Entonces, *|ab|=ab* por definición. Como también *|a||b|=ab,* se deduce que *|ab|=|a||b|.*

2) Suponemos ahora que *ab<0,* es decir que *a* y *b* tienen signos contrarios. Por definición, *|ab|=-ab.* Ahora, *|a||b|=-ab* (porque uno de los dos números es negativo). Entonces, se deduce que *|ab|=|a||b|*

Como el caso de *ab=0* se prueba de forma sencilla, hemos demostrado que *|ab|=|a||b|.*

Los teoremas de la división y de la potencia se prueban de forma similar a la que usamos aquí.

Demostración de la desigualdad triangular

Buscamos demostrar que *a+b≤|a|+|b|.* Primero, supongamos que *a+b≥0.* Entonces:

*|a+b|=a+b* por definición de valor absoluto.

Pero, como *a≤|a|* y *b≤|b|,* sumando se tiene que *a+b≤|a|+|b|.* Como *a+b=|a+b|,* se tiene que:

*|a+b|≤|a|+|b|*

Ahora, supongamos que *a+b<0.* Entonces:

*|a+b|=-(a+b)* por definición.

Pero, *-(a+b)=(-a)+(-b).* Como *-a≤|a|* y *-b≤|b|,* entonces: *(-a)+(-b)≤|a|+|b|,* y a partir de la primera igualdad se deduce que:

*|a+b|≤|a|+|b|*

Como se quería demostrar.

Demostración del valor absoluto de una diferencia

Buscamos demostrar que *|a-b|≥|a|-|b|.* Supongamos que *a-b=c,* entonces *a=b+c,* y, según la desigualdad triangular, se tiene que:

*|a|=|b+c|≤|b|+|c|*

Pero, como *c=a-b,* se obtiene *|a|≤|b|+|a-b|.* Reordenando esta expresión se tiene que:

*|a|-|b|≤|a-b|~* o *~|a-b|≥|a|-|b|*

Como se quería demostrar.

Propiedades generales del valor absoluto de un número real
Propiedades de las operaciones con valor absoluto

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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