Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

En este artículo desarrollamos la clasificación de funciones según la relación entre sus elementos en inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Analizamos las definiciones, ejemplos, cómo se comportan las gráficas y cómo reconocer a que grupo pertenece una función.

Función inyectiva

Sea *f: A→B*

La función f es inyectiva (o uno a uno) si ocurre que dos elementos distintos de su dominio siempre tienen imágenes distintas. En símbolos:

*f \ \text{es inyectiva}↔∀x_1∈A \ ∀x_2∈A : x_1≠x_2 → f(x_1)≠f(x_2)*

Es importante no confundir la inyectividad con la definición de función. Como sabemos, una función es una regla que asigna a cada elemento del dominio un elemento del codominio, que es su imagen. Esto no impide que dos o más elementos del dominio tengan una misma imagen, pero en las funciones inyectivas esto no puede ocurrir.

Geométricamente, si una función es inyectiva, una recta horizontal corta a la gráfica a lo sumo en un punto. Si esto no ocurre, significa que la función toma el mismo valor de y para al menos dos valores del dominio, con lo cual la función no es inyectiva.

Prueba de la recta horizontal

Una función es inyectiva sí y solo sí no existe una recta horizontal que cruce su gráfica más de una vez.

La función *f(x)=x^2* no es inyectiva pues, si observamos su gráfica, infinitas rectas horizontales pueden cortarla más de una vez, o sea, existen valores distintos del dominio que tienen la misma imagen. Por ejemplo *-2* y *2*, ya que *f(-2)=(-2)^2=4=f(2)*

Gráfica de una función no inyectiva, prueba de la recta horizontal.
Función no inyectiva

En cambio, la función *g(x)=x^3* sí es inyectiva, pues ninguna recta horizontal corta la gráfica más de una vez.

Gráfica de una función inyectiva, prueba de la recta horizontal
Función inyectiva

Podemos saber si una función es o no inyectiva con el recurso gráfico (prueba de la recta horizontal) pero también de forma analítica si aplicamos la definición contrarrecíproca:

*f \ \text{es inyectiva} ↔ ∀a∈A \ ∀b∈A : f(a)=f(b)→a=b*

Por ejemplo, en *f(x)=x^2*, comenzamos suponiendo que existen dos imágenes iguales para elementos diferentes del dominio y debemos llegar a que ambos elementos son iguales.

*f(a)=f(b)→a^2=b^2→a=±b*

Como no pudo llegarse a que los elementos son iguales, la función no es inyectiva. Esta es la misma conclusión a la que habíamos llegado con la prueba gráfica.

Hagamos la prueba analítica con la función *h(x)=2x+1*. Seguimos el mismo procedimiento que en el caso anterior:

*h(a)=h(b)→2a+1=2b+1→2a=2b→a=b*

Hemos probado que si hay dos imágenes iguales, estas corresponden al mismo elemento del dominio, por lo tanto la función es inyectiva. Realizando la prueba de la recta horizontal sobre la gráfica llegaremos a la misma conclusión:

Gráfica de una función inyectiva, prueba de la recta horizontal
Función inyectiva

Si tenemos una función no inyectiva, en algunos casos es posible realizar una restricción del dominio para que se convierta en inyectiva. Con la misma regla de definición, recortamos el dominio para que no existan valores distintos con la misma imagen.

Por ejemplo, en *f(x)=x^2* podríamos quitar a los números negativos del dominio, de tal forma que tendríamos una función restringida *f_R=x^2* donde *D_R=[0,+∞)*. Esta función no es igual a la original, pues tiene un dominio distinto, pero en el intervalo indicado ambas funciones dan los mismos valores. Si miramos la gráfica de la función restringida veremos que ahora sí es inyectiva:

Gráfica de una función restringida inyectiva
Función inyectiva con dominio restringido

Podríamos haber elegido quitar del dominio a los números positivos, incluso podríamos haber hecho que el nuevo dominio fuera, por ejemplo, el intervalo *[1,5]* y la función seguiría siendo uno a uno. Sin embargo, a la hora de restringir, comúnmente buscamos realizar la mínima restricción posible para que la función se convierta en inyectiva conservando la mayor cantidad de imágenes.

Otros ejemplos de funciones inyectivas son:

*y=\sqrt{x}*

*y=\ln x*

*y=4x^3+2x+3*

*y=e^x*

Función sobreyectiva

Podemos considerar funciones de un conjunto en otro, donde el rango es una parte del segundo conjunto, por ejemplo *f(x)=x^2* es una función de *\mathbb{R}* en *\mathbb{R}*, pues su dominio son los reales y su rango es *[0, +∞)*, el cual es un subconjunto de los reales.

En cambio, si en una función el rango coincide con el segundo conjunto, se dice que es una función de un conjunto sobre otro. Por ejemplo, *f(x)=2x* es una función de *\mathbb{R}* sobre *\mathbb{R}*, porque el rango coincide con el segundo conjunto (que llamamos codominio).

En virtud de este razonamiento, definimos al siguiente tipo de función.

Sea *f:A→B* (f es una función de A en B).

La función f es sobreyectiva (o suryectiva) si su rango coincide con su codominio, *R_f=B*. De forma equivalente:

*f \ \text{es sobreyectiva} ↔ ∀y∈B, ∃x∈A~/~y=f(x)*

La definición establece que todo elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio.

Cuando tenemos la fórmula de una función, solemos considerar como codominio al conjunto de los números reales, y a veces no es tan sencillo obtener el rango. Por ello, la función *f(x)=x^2* que antes mencionamos tiene dominio *D_f=\mathbb{R}* y codominio *C_f=\mathbb{R}*. Deducimos rápidamente que su rango es *R_f=[0,+∞)*. Como *R_f≠C_f*, la función no es sobreyectiva.

La función *g(x)=x^3* tiene dominio *D_g=\mathbb{R}*, codominio *C_g=\mathbb{R}* y su rango es *R_g=\mathbb{R}.* Como ocurre que codominio y rango coinciden, la función sí es sobreyectiva.

Podemos aplicar un procedimiento para que una función se convierta en sobreyectiva si no lo es. En este caso, lo que haremos es restringir el codominio de modo que sea igual al rango. Por ejemplo, en base a *f(x)=x^2*, creamos una nueva función cuyo codominio sea *[0,+∞)* de tal modo que coincida con el rango. Esta nueva función *f_R=x^2* donde *C_R=[0,+∞)* sí es sobreyectiva.

Nota: una técnica para recordar la definición de sobreyectividad es entenderla como que "no sobran" elementos en el codominio.

Otros ejemplos de funciones sobreyectivas son:

*y=\ln x*

*y=3x^3+5*

*y=-6x+4*

*y=\cos x* (solo si restringimos su codominio a *[-1,1]*)

Función biyectiva

Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

En este caso queda establecida una correspondencia biunívoca entre los elementos del dominio y el codominio. Esto quiere decir que cada elemento del dominio corresponde a un único elemento del codominio y viceversa. En un diagrama, una función biyectiva se vería de la siguiente forma:

Diagrama de Venn de una función biyectiva
Diagrama de una función biyectiva

Para comprobar la biyectividad debemos, como nos dicta la definición, comprobar primero si la función es inyectiva y sobreyectiva. En el caso de que no se cumpla, podemos recurrir a los procedimientos de restricción antes explicados para lograrlo.

Por ejemplo, *g(x)=x^3* es una función biyectiva, pues antes probamos que es tanto inyectiva como sobreyectiva.

La función *f(x)=x^2* no cumple ninguna de las dos condiciones, pero realizando la restricción de dominio y codominio de modo que estos sean igual a *[0, +∞)*, se convierte en una función biyectiva.

La importancia de las funciones biunívocas reside en que sus relaciones inversas también son funciones biunívocas. Esto es porque al haber una correspondencia de uno a uno, podríamos invertir la relación y entonces a cada elemento del codominio correspondería uno del dominio, cumpliendo así con la definición de función. En conclusión, una función biyectiva tiene función inversa.

Otros ejemplos de funciones biyectivas son:

*y=2x-3*

*y=-5x^3+4*

*y=\ln x*

*y=\sqrt {x}* (solo si restringimos su codominio a *[0, +∞)*)

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

Este sitio web usa cookies. Más información