Relaciones binarias entre conjuntos: definición y ejemplos

En este artículo abordamos las relaciones definidas entre dos conjuntos. Estudiaremos su definición, formas de representación, dominio e imagen y relaciones inversas. 

Concepto

Hablamos anteriormente sobre el producto cartesiano, el cual consistía en un conjunto de pares ordenados formados a partir de dos conjuntos. Pero, ¿qué ocurre si solo necesitamos algunos de esos pares? para solucionar esta cuestión surge la idea de relación entre conjuntos, conocida en álgebra como relación binaria (por intervenir dos conjuntos).

Supongamos que tenemos un conjunto A formado por alumnos de un curso y un conjunto B formado por calificaciones del último examen, en una escala de 1 a 5 donde cinco es la mejor calificación.

A={Juan, María, Pedro, Rosa}

B={1, 2, 3, 4, 5}

Estos conjuntos a priori no tienen ninguna relación entre sí. Podríamos calcular el producto cartesiano, pero muchos pares ordenados no serían de interés. Sin embargo, sí nos interesarían aquellos pares que nos dijeran los alumnos y su calificación en el examen. Por ejemplo, si Juan obtuvo un 4, nuestro interés está en el par (Juan, 4).

¿Cómo hacemos para filtrar los pares útiles a nuestros propósitos? Podríamos formar un conjunto con los pares alumno-calificación al que solo pertenezcan aquellos que nos indiquen la calificación de cada estudiante. Este filtrado lo hacemos a través de una función proposicional la cual, si es verdadera, permitirá a un par ordenado pertenecer al conjunto.

Una función proposicional adecuada podría ser P(x, y): x obtuvo la calificación y. Nuestro conjunto de interés es:

*R=\{(x,y)\in A\times B~|~P(x,y)\}*

Nótese que los pares ordenados los extraemos del producto cartesiano, pero solo dejamos en *R* aquellos que cumplen P(x,y). Por extensión, nuestro conjunto es:

R={(Juan, 4), (María, 2), (Pedro, 2), (Rosa, 5)}

A simple vista conseguimos conocer la nota de cada estudiante.

Podemos darnos cuenta de que *R* es un subconjunto de *A \times B*, pues todos sus elementos pertenecen también a *A \times B.* Esta es la idea de una relación entre conjuntos, la precisamos a través de la siguiente definición:

Definición: sean A y B dos conjuntos, relación entre A y B es cualquier subconjunto del producto cartesiano *A \times B.* En símbolos:

R es una relación entre A y B ↔ *R\subseteq A\times B*

Indicamos que un par ordenado *(a,b)* pertenece a la relación escribiendo *aRb* (se lee a está relacionado con b) que es equivalente a *(a,b)\in R.*

Importante: no confundir R de relación con el símbolo *\mathbb{R}* de los números reales.

Representación gráfica de relaciones binarias

Utilizando nuestro ejemplo, veremos las distintas maneras que tenemos de presentar de manera gráfica una relación entre dos conjuntos. Claro está que esto solo será posible en conjuntos finitos de pocos elementos.

Diagrama de Venn

Ya conocidos como el método por excelencia para representar conjuntos, también nos sirve para las relaciones. Mediante flechas conectamos a los elementos que están relacionados, como en el siguiente ejemplo:

Diagrama de Venn de una relación definida entre dos conjuntos
Diagrama de Venn de una relación binaria

Gráfico cartesiano

Como en el caso de productos cartesianos, también podemos utilizar el plano cartesiano para representar relaciones binarias. Sobre el eje horizontal ubicamos los elementos del primer conjunto y sobre el eje vertical los del segundo. En este caso, solo resaltamos los puntos que formen parte de la relación e ignoramos los demás, por ejemplo:

Gráfico cartesiano de una relación definida entre dos conjuntos
Gráfico cartesiano de una relación binaria

Matriz (tabla)

Sobre una columna anotamos los elementos del primer conjunto y sobre una fila los del segundo. En el ángulo superior izquierdo, el nombre del conjunto relación. Si un par ordenado del producto cartesiano pertenece a la relación, se le asigna un 1, en caso contrario, un 0.

R12345
Juan00010
María01000
Pedro01000
Rosa00001

Dominio e imagen de una relación binaria

En una relación, existen dos conjuntos importantes además de los relacionados, ellos son el conjunto dominio y el conjunto imagen de la relación. Estos conjuntos no necesariamente son iguales a los originales, lo veremos mediante la definición.

Sea R una relación entre los conjuntos A y B. Si *(x,y)∈R,* se dice que y es la imagen de x a través de R, y que x es el antecedente o preimagen de y a través de R.

Definiciones:

Dominio de la relación R son todos de los elementos de A, que admiten imagen en B:

*D_{R}=\{x∈A~|~(x,y)∈R\}.* 

Imagen de la relación R es el conjunto de los elementos de B, que admiten preimagen en A:

*I_R=\{y∈B~|~(x,y)∈R\}*

En nuestro ejemplo supongamos que había un estudiante más, José, el cual no asistió al examen y no pudo ser evaluado. En este caso el conjunto A={Juan, José, María, Pedro, Rosa}. El conjunto de las calificaciones sigue siendo B={1, 2, 3, 4, 5}. José no tiene calificación, entonces no podemos formar un par alumno-calificación, por este motivo, José no pertenece a la relación R. Teniendo en cuenta lo dicho, los conjuntos dominio e imagen de R serían los siguientes:

DR={Juan , María, Pedro, Rosa}

IR={2, 4, 5}

Nótese que 1 y 3 no pertenecen a la imagen, aunque sí pertenecen a B. Ocurre lo mismo que con José, al no estar relacionado con un elemento del otro conjunto, no pertenece a la relación.

Relación binaria inversa

De nuestro ejemplo obtenemos una relación alumno-calificación, podríamos recorrer el camino inverso y formar la relación calificación-alumno, a la cual le corresponde la función proposicional Q(y, x)= y es la calificación obtenida por x. Esta nueva relación se llama relación inversa de R.

Definición: sea R una relación entre A y B, relación inversa de R es el subconjunto de *B \times A* definido por:

*R^{-1}=\{(y,x)~|~(x,y)\in R\}*

En las relaciones inversas, se cumple que *D_{R^{-1}}=I_R* y *I_{R^{-1}}=D_R.* Es decir, el dominio de la relación inversa es la imagen de la relación original y la imagen de la relación inversa es igual al dominio de la original.

Con nuestro ejemplo, *R^{-1}=*{(4, Juan), (2, María), (2, Pedro), (5, Rosa)}. Nótese que permutamos las componentes de los pares ordenados. En un gráfico cartesiano, la relación inversa se vería así:

Gráfico cartesiano de una relación inversa definida entre dos conjuntos
Gráfico cartesiano de una relación binaria inversa

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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