Producto cartesiano y pares ordenados: definición y ejemplos
El producto cartesiano es una operación entre conjuntos muy utilizada en las matemáticas. En este artículo veremos qué son los pares ordenados, cómo se calcula el producto cartesiano y algunos ejemplos para entenderlo mejor.
Índice
Par ordenado
Habíamos visto que a la hora de expresar un conjunto no establecíamos un orden entre sus elementos. Por ello, el conjunto {a, b} era igual al {b, a}. Si necesitamos no solo expresar los elementos de un conjunto, sino también definir un orden para ellos, debemos formar un nuevo conjunto que dependa de los elementos que nos interesan y del orden en que buscamos que aparezcan.
Definición: dados dos elementos a y b, llamaremos par ordenado ab, denotado (a, b) al conjunto {{a}, {a, b}}. "a" es llamada la primera componente del par y "b" la segunda componente.
Puede demostrarse que (a, b)=(c, d) si y solo si a=c y b=d. Es decir, dos pares ordenados son iguales solo si sus componentes respectivas son iguales. Con la misma lógica podemos probar que (a, b)≠(c, d) si y solo si a≠c o b≠d. Es decir, dos pares son distintos si alguna de sus componentes respectivas no coincide.
Notamos que este nuevo conjunto no está formado por a y b, sino por conjuntos que los contienen a ambos o a uno solo. Hemos solucionado el orden que buscábamos, pues fijándonos en los elementos de {{a}, {a, b}}, el elemento del conjunto unitario dentro de él será la primera componente del par, y del segundo conjunto {a, b}, extraemos el elemento distinto al anterior, que será la segunda componente del par. Siguiendo este proceso, podríamos escribir {{a}, {a, b}} como {{b, a}, {a}} y el par ordenado representado seguiría siendo (a, b).
Podríamos tener un par ordenado cuyas componentes sean iguales. Un ejemplo sería el par (a, a) que en notación de conjuntos sería {{a}, {a, a}}={{a}, {a}}={{a}}.
Debe quedar claro que si a≠b, entonces (a, b) ≠ (b, a). Bastaría con ver ambos conjuntos:
(a,b) = {{a}, {a, b}}
(b, a) = {{b}, {b,a}}
Si fueran iguales, tendrían los mismos elementos, pero vemos que {a} ∈ {{a}, {a, b}} y {a} ∉ {{b}, {b, a}}, esto es suficiente para descartar que los conjuntos sean iguales.
Producto cartesiano
Trabajamos anteriormente con las operaciones usuales entre conjuntos como la unión, intersección, diferencia, etc. Existe otra operación que podemos entender como una multiplicación de conjuntos, que consiste en formar un nuevo conjunto cuyos elementos sean pares ordenados con primera y segunda componente del primer y segundo conjunto respectivamente.
Definición: sean A y B dos conjuntos, producto cartesiano de A y B, denotado A×B, es el conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y la segunda a B.
A × B = {(a,b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}
Ejemplo: el producto cartesiano de los conjuntos A = {a, b, c} y B = {1, 2} es el conjunto:
A × B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}
Como nos dice la definición, al producto cartesiano pertenecen todos los pares ordenados que se pueden formar con primera componente de A y segunda de B.
Algo importante a destacar es que A×B no es lo mismo que B×A, hagamos la prueba:
B × A = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}
Nos damos cuenta rápidamente de que B×A no es igual al conjunto A×B, pues antes habíamos visto que las componentes de un par no pueden cambiarse de lugar si no son iguales. Por tanto, podemos decir que el orden en que aparecen los conjuntos es importante para calcular el producto cartesiano.
En particular, si los conjuntos A y B son iguales, tenemos el producto cartesiano:
A × A = A2 = {(a,b) | a ∈ A ∧ b ∈ A}
Por ejemplo, con A={1, 2}: A × A = A2 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}.
Podemos extender la definición de producto cartesiano al caso de tener tres conjuntos, en este caso también debemos extender la definición de par ordenado a terna ordenada, con tres elementos. Se sigue la misma lógica que en el caso de dos conjuntos.
Dados tres elementos a, b y c, llamaremos terna ordenada abc al conjunto {{a}, {a, b}, {a, b, c}} que denotamos como (a, b, c).
Definición: producto cartesiano de los conjuntos A, B y C es el conjunto
A × B × C = {(a, b, c) | a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ c ∈ C}
Otros ejemplos de productos cartesianos:
- El conjunto de los números racionales se define como el producto cartesiano entre el conjunto de los números enteros y él mismo pero sin el cero: Q = Z × Z*.
- El conjunto de los números complejos se define como el producto cartesiano entre el conjunto de los números reales y él mismo: C = R × R.
Cómo calcular el producto cartesiano
Veamos algunas técnicas que podemos utilizar para facilitar el cálculo de los productos cartesianos. Esto solo servirá cuando tengamos conjuntos de pocos elementos y debamos expresar el producto por extensión. En el caso de tratar con conjuntos infinitos, dejar expresado el producto cartesiano como en la definición, es decir, por comprensión, es más que suficiente.
Producto cartesiano de 2 conjuntos
Al tratar con pares ordenados, podemos utilizar un plano con coordenadas cartesianas para representar los elementos de ambos conjuntos y hallar su producto. En el eje horizontal situamos los elementos del primer conjunto y en el eje vertical los del segundo conjunto. Luego, formamos los pares ordenados correspondientes.
Por ejemplo, sean los conjuntos A={1, 3} y B={b, c}, buscamos calcular A×B. El gráfico cartesiano nos quedaría de la siguiente manera:
De aquí extraemos que A×B = {(1,b), (1,c), (3,b), (3,c)}. Otra forma más compacta consiste en una tabla que sigue la misma lógica que el gráfico, como la siguiente:
| c | (1, c) | (3, c) |
| b | (1, b) | (3, b) |
| A × B | 1 | 3 |
De aquí llegamos a los mismos pares ordenados para el producto cartesiano.
Producto cartesiano de 3 conjuntos
En el caso de tener tres conjuntos, la representación de A×B×C no sería en un plano, sino en el espacio, debido a las tres componentes de la terna. Sin embargo, para no complicarnos haciendo gráficos tridimensionales, podemos primero calcular el producto de los dos primeros conjuntos y, utilizando los pares obtenidos, formar las ternas con el proceso anterior. Es decir, hacer (A × B) × C.
Ejemplo: sean A = {a, b, c}, B = {1, 2} y C = {7, 8}. Calculamos primero A×B:
| 2 | (a, 2) | (b, 2) | (c, 2) |
| 1 | (a, 1) | (b, 1) | (c, 1) |
| A × B | a | b | c |
Entonces, A × B= {(a, 2), (b, 2), (c, 2), (a, 1), (b, 1), (c, 1)}. Estos pares obtenidos los situamos ahora en el eje horizontal y en el vertical colocamos los elementos de C:
| 8 | (a, 2, 8) | (b, 2, 8) | (c, 2, 8) | (a, 1, 8) | (b, 1, 8) | (c, 1, 8) |
| 7 | (a, 2, 7) | (b, 2, 7) | (c, 2, 7) | (a, 1, 7) | (b, 1, 7) | (c, 1, 7) |
| A × B × C | (a, 2) | (b, 2) | (c, 2) | (a, 1) | (b, 1) | (c, 1) |
De aquí ya podemos extraer todas las ternas de A × B × C = {(a, 2, 8), (b, 2, 8), (c, 2, 8), (a, 1, 8), (b, 1, 8), (c, 1, 8), (a, 2, 7), (b, 2, 7), (c, 2, 7), (a, 1, 7), (b, 1, 7), (c, 1, 7)}
Propiedades del producto cartesiano
La operación de producto cartesiano cumple con determinadas propiedades relacionadas con las operaciones entre conjuntos, algunas de ellas son:
1) El producto cartesiano es distributivo respecto de la unión de conjuntos:
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)
2) El producto cartesiano es distributivo respecto de la intersección de conjuntos.
(A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)
3) El producto cartesiano es distributivo respecto de la diferencia de conjuntos.
(A - B) × C = (A × C) - (B × C)
4) El complemento del producto cartesiano es la unión entre el producto de los complementos de los dos conjuntos con el producto entre el complemento del primero y el segundo, y el producto entre el primero y el complemento del segundo.
(A × B)c = (Ac × Bc) ∪ (Ac × B) ∪ (A × Bc)
5) El producto cartesiano de dos conjuntos es vacío si alguno de los dos es vacío.
A × B = ϕ ↔ A = ϕ ∨ B=ϕ
6) Dos conjuntos A' y B' están incluidos en A y B respectivamente si y solo sí su producto cartesiano está incluido en el producto cartesiano de A y B.
A' ⊆ A ∧ B' ⊆ B ↔ A' × B' ⊆ A × B
