¿Qué es la imagen de una función?
En este artículo desarrollamos las dos interpretaciones que tiene el concepto de imagen de una función con ejemplos de cada una.
Índice
Imagen como número
La imagen de una función es el valor que toma la función para un determinado valor de entrada. En otras palabras, es el resultado de aplicar la función a ese valor de entrada.
Si f es una función y el valor a está en su dominio, entonces la imagen del número a se denota como f(a) (se lee "f de a").
Ejemplos:
- La función cuadrática *f(x)=x^2* tiene una imagen de 4 para el valor de entrada *x=2.* Esto se debe a que *f(2)=2^2=4.*
- Para la función lineal *g(x)=-x+7,* la imagen de *x=1* es *6,* pues *g(1)=-1+7=6.*
- La función racional *h(x)=\dfrac{1}{x+1},* para *x=-2* tiene como imagen a *h(-2)=\dfrac{1}{-2+1}=\dfrac{1}{-1}=-1*
Como vimos en los casos anteriores, si la función está dada por una fórmula, para hallar la imagen de un número basta con sustituir ese número en el lugar de la variable. Por ejemplo, para *f(x)=-x^2+x-1,* la imagen de *x=3* se puede obtener sustituyendo x por 3 en la fórmula, o sea *f(3)=-(3)^2+(3)-1=-7.* El proceso de hallar una imagen se conoce como evaluar la función.
Para poder hallar la imagen de un número, es necesario que la función esté definida en ese número. Si, por ejemplo, queremos hallar la imagen de la función *h(x)=\dfrac{1}{x+1}* en *x=-1,* nos encontraremos con un problema, pues al reemplazar nos queda la expresión 1/0 la cual no es un número; en este caso decimos que la función no está definida (o no existe) en *x=-1,* pues no tiene imagen en ese punto.
Imagen como conjunto
Dependiendo de donde se consulte, la imagen de una función puede entenderse como el conjunto de todas las imágenes de una función, o sea, el rango o recorrido de la misma. Para evitar confusiones, a este conjunto le llamaremos conjunto imagen.
El conjunto imagen de una función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la función. En otras palabras, es el conjunto de todos los resultados de aplicar la función a todos los números del dominio.
Simbólicamente, denotamos como *I_f* al conjunto imagen de la función *f,* entonces $$I_f=\{y~|~y=f(x), ~x\in D_f\}$$ siendo *D_f* el dominio de la función. Debe que dar claro que "conjunto imagen" es otro nombre con el que se puede llamar al rango o recorrido de una función, o sea *I_f=R_f.*
Ejemplos:
- La función *f(x)=x^2* tiene como conjunto imagen a todos los números reales no negativos, pues todo número real elevado al cuadrado es mayor o igual a cero.
- La función constante *g(x)=3* tiene de conjunto imagen a *\{3\},* pues para cualquier valor del dominio, la imagen es la misma, *3.*
Como se vio en los ejemplos, el conjunto imagen puede ser finito o infinito dependiendo de la función con la que se trabaje.
