Multiplicación de funciones

En este artículo explicamos cómo multiplicar funciones reales con ejercicios resueltos paso a paso. Además, veremos las propiedades de esta operación.

¿Cómo se multiplican las funciones?

La multiplicación de dos funciones se define como el producto de las imágenes de las funciones. Es decir, para obtener el producto, se deben multiplicar las dos ecuaciones de las funciones.

*(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)*

El dominio de la función producto es la intersección de los dominios de f y g, es decir, los números que están en ambos dominios:

*D_{fg}=D_f\cap D_g*

Cuando se multiplican funciones, muchas de las propiedades de las funciones originales pueden conservarse, pero esto depende de las propiedades específicas que estés considerando. En particular, el producto de dos funciones pares o dos funciones impares resulta en una función par, en cambio, si se multiplican una función par y una impar, el resultado es impar.

Ejercicios resueltos

Ejemplo 1

Dadas las funciones *f(x)=3x-4~* y *~g(x)=-6x-1,* obtener *(fg)(x)* y su dominio.

Solución: las funciones f y g son polinomiales, con lo cual su dominio es el conjunto de los números reales, *\mathbb{R}.* La intersección de ellos es el mismo conjunto, entonces el dominio de la función producto es *D_{fg}=\mathbb{R}.*

Para obtener la expresión analítica, multiplicamos las dos ecuaciones.

*(fg)(x)=f(x)\cdot g(x)*

*=(3x-4)(-6x-1)*

*=-18x^2-3x+24x+4*

*=-18x^2+21x+4*

Nótese que la imagen de un elemento de la función producto es igual a multiplicar las imágenes de las funciones por separado. Por ejemplo, *(fg)(2)=f(2)\cdot g(2):*

*(fg)(2)=-18(2)^2+21(2)+4=-26*

*f(2)\cdot g(2)=[3(2)-4]\cdot [-6(2)-1]=2\cdot (-13)=-26*

Ejemplo 2

Obtener *(f\cdot g)(x)* y su dominio si

*f(x)=\dfrac{x}{x^2+2}~~* y *~~g(x)=\dfrac{1}{x-7}*

Solución: en este caso, el dominio de f es *D_f=\mathbb{R},* porque su denominador no se anula en ningún número real; el dominio de g es *D_g=\mathbb{R}-\{7\}.* Por tanto, como el único número que no comparten es *x=7, * el dominio de fg excluirá a ese número: *D_{fg}=\mathbb{R}-\{7\}.*

Para obtener la fórmula de la función, multiplicamos las dos expresiones, en este caso tenemos la multiplicación de funciones racionales y procedemos como se hace con fracciones algebraicas: multiplicar numerador con numerador y denominador con denominador.

*(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)*

*=\dfrac{x}{x^2+2}\cdot \dfrac{1}{x-7}*

*=\dfrac{x\cdot 1}{(x^2+2)(x-7)}*

*=\dfrac{x}{x^3-7x^2+2x-14}*

Ejemplo 3

Sean *f(x)=\sqrt{x-2}~* y *~g(x)=\sqrt{6-x},* obtener *(fg)(x)* y su dominio.

Solución: el dominio de f es *D_f=[2,\infty)* y el dominio de g es *D_g=(-\infty, 6].* El dominio de fg es entonces la intersección de estos dos intervalos: *D_{fg}=[2,6].* Este intervalo tiene sentido porque contiene a los números que pertenecen a los dos dominios al mismo tiempo.

Para obtener la ecuación, multiplicamos las dos expresiones, en este caso son dos funciones radicales y podemos utilizar sus propiedades para escribir una sola raíz:

*(fg)(x)=\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{6-x}*

*=\sqrt{(x-2)(6-x)}*

*=\sqrt{6x-x^2-12+2x}*

*=\sqrt{-x^2+8x-12}*

Gráfica del producto de dos funciones
Gráfica de la función producto. Nótese que esta solo existe en el intervalo [2,6].

Ejemplo 4

Si *f(x)=3x^2+6,* calcular cuánto es *2\cdot f(x).*

Solución: en este caso, se busca calcular el múltiplo de una función. Esto puede interpretarse como la multiplicación de la función f por la función constante *g(x)=2.* Lo obtenemos usando la fórmula que conocemos:

*(g\cdot f)(x)=2\cdot f(x)*

*=2\cdot (3x^2+6)*

*=6x^2+12*

Ejemplo 5

Sean las funciones *f(x)=x~* y *~g(x)=\dfrac{1}{x},* obtener *(f\cdot g)(x)* y su dominio.

Solución: el dominio de f es *D_f=\mathbb{R},* por ser una función polinómica; el dominio de g es *D_g=\mathbb{R}-\{0\},* porque *x=0* es el único valor que anula su denominador. El dominio de la función producto es la intersección de ambos dominios: *D_{fg}=D_f\cap D_g=\mathbb{R}-\{0\},* porque el único valor que no comparten es *x=0.*

Para obtener la ecuación de la función producto, multiplicamos las fórmulas de f y g:

*(f\cdot g)(x)=x\cdot \dfrac{1}{x}*

*=\cancel{x}\cdot \dfrac{1}{\cancel{x}}*

*=1*

Si calculamos el dominio desde la expresión final, habríamos cometido un error, porque el dominio natural de esta función es *\mathbb{R}.* Sin embargo, en nuestro análisis determinamos que el dominio de *(fg)(x)* es *\mathbb{R}-\{0\}.* Por ello, es importante obtener el dominio a partir de la intersección de los dominios originales.

Ejemplo 6

Si un rectángulo tiene lados son *x* y *x-2,* encuentre una función que represente el área del rectángulo para cualquier valor de *x.* 

Solución: como el área de un rectángulo es el producto de las longitudes de sus lados, podemos obtener el área solicitada *A* multiplicando las funciones *x* y *x-2:*

*A(x)=x\cdot (x-2)*

*=x^2-2x*

En conclusión, la función que representa el área del rectángulo para cualquier valor de x es *A(x)=x^2-2x.*

Propiedades

La multiplicación de funciones, al igual que la multiplicación de números reales, cumple una serie de propiedades que veremos a continuación.

1) Conmutatividad: el orden en que se multiplican las funciones no altera el resultado. 

*(f\cdot g)(x)=(g\cdot f)(x)*

2) Asociatividad: el orden en que se agrupan las funciones no altera el resultado 

*((f\cdot g)\cdot h)(x)=(f\cdot (g\cdot h))(x)*

Es decir, en una multiplicación de tres funciones, es igual multiplicar la primera con la segunda y el resultado multiplicarlo a la tercera, que multiplicar la segunda y la tercera y el resultado multiplicarlo con la primera.

3) Elemento neutro: existe una función al ser multiplicada a otra no altera el valor de esta última. Esta es la función constante *g(x)=1,* pues, para cualquier función *f,* se cumple que *f(x)\cdot 1=f(x).*

4) Elemento simétrico: para cada función, excepto cero, existe otra que al ser multiplicadas producen resultado 1. Para una función *f,* su simétrica es *1/f,* porque *f(x)\cdot \dfrac{1}{f(x)}=1.* No se debe confundir la función simétrica con la función inversa. Por ejemplo, si *f(x)=2x,* su simétrica es *g(x)=\dfrac{1}{2x},* porque *2x\cdot \dfrac{1}{2x}=1.* Es importante destacar que la función simétrica no existe en los valores donde se anula la función original.

5) Distributividad: la multiplicación de funciones se puede distribuir respecto de la suma o resta de funciones

*(f\cdot (g+h))(x)=(fg)(x)+(fh)(x)*

Ejercicios para practicar

Ejercicio: para cada par de funciones obtener *f\cdot g* y su dominio.

  1. *f(x)=2x-3,~~ g(x)=3x+5*
  2. *f(x)=\sqrt{x+1},~~ g(x)=\dfrac{2}{x}*
  3. *f(x)=\dfrac{1}{x-2},~~ g(x)=\dfrac{x^2}{x+5}*

Soluciones:

  1. *(f\cdot g)(x)=6x^2+x-15,* *~~~D=\mathbb{R}*
  2. *(f\cdot g)(x)=\dfrac{2\sqrt{x+1}}{x},* *~~~D=[-1,0)\cup (0,\infty]*
  3. *(f\cdot g)(x)=\dfrac{x^2}{x^2+3x-10},* *~~~D=\mathbb{R}-\{-5;2\}*

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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