¿Qué es una función en matemáticas?

En este artículo explicamos qué es una función en matemáticas, cómo se simboliza, las formas de clasificación y ejemplos de funciones.

¿Qué es una función?

Una función es una regla que hace corresponder a cada elemento de un conjunto, llamado dominio, un único elemento de otro conjunto, llamado codominio.

Hablamos de función o relación funcional cuando se nos presentan relaciones entre dos conjuntos de elementos, en las que a cada elemento del primer conjunto se le hace corresponder únicamente un elemento del otro conjunto. Por ejemplo, a cada persona le corresponde una edad, a cada estado le corresponde un gobernador, a cada palabra le corresponde una letra inicial, etc.

Ahora bien, no todas las relaciones entre conjuntos son funciones. Por ejemplo, la relación "es padre de" entre personas no es una función, ya que una persona puede tener más de un hijo, y algunas personas pueden no tener hijos.

En matemáticas es común trabajar con relaciones de dos magnitudes variables donde una depende de la otra. Por ejemplo, el área A de un círculo depende de su radio, y está dada por la expresión A=πr². La relación entre estas magnitudes es una función, porque a cada valor de radio le corresponde un único valor de área. Matemáticamente podemos precisar aún más el concepto de función mediante la siguiente definición.

Definición: una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A, un único elemento y de un conjunto B. El conjunto A se llama dominio de f. El conjunto B se llama codominio y el conjunto de las y en B se denomina rango de f. 

Dada una función f, el elemento y del rango que corresponde a un x escogido en el dominio es el valor de la función en x, o la imagen de x, que se denota por f(x). Este símbolo se lee "f de x" o "f en x" y queda claro que y=f(x). El valor de y depende de la elección de x, por lo que se le denomina variable dependiente; a x se la llama variable independiente.

Es útil considerar una función como una máquina. Si x está en el dominio de la función f, entonces cuando x entra a la máquina, es aceptada como entrada y la máquina produce una salida y=f(x) de acuerdo con la regla de la función. La entrada es la variable independiente y la salida es la variable dependiente.

Otra forma de presentar a una función es mediante un diagrama de flechas. Cada flecha conecta un elemento de A con su correspondiente en B. En el siguiente gráfico se observa que x está relacionado con f(x) y a está relacionado con f(a). El conjunto A suele llamarse conjunto de partida y el conjunto B conjunto de llegada.

Por ejemplo, la regla para elevar al cuadrado un número está dada por la ecuación *f(x)=x^2* o *y=x^2.* El valor de f en *x=2* se obtiene de sustituir *x* en la fórmula:

*f(2)=(2)^2=4*

Así, al elemento *x=2* le corresponde el elemento *y=4* según la regla de la función f.

A partir de la definición podemos decir que características de una función son:

• Existencia: para cada elemento del dominio, debe existir una imagen en el codominio. No puede haber elementos en el dominio que no tengan una imagen asociada.
• Unicidad: cada elemento del dominio debe tener una única imagen en el codominio. Esto significa que no puede haber dos imágenes diferentes para un mismo elemento del dominio.

Los elementos de una función son:

• Dominio: es el conjunto de todos los posibles valores de entrada para los cuales la función está definida.
• Codominio: es el conjunto de llegada de la función, el cual contiene a todos los valores de salida.
• Rango: es el conjunto de todos los valores de salida y está dentro del codominio. El rango no es necesariamente igual al codominio.
• Regla de correspondencia: es aquella que dicta cómo se relacionan los elementos del dominio con los del codominio. Puede ser una expresión algebraica, una tabla, un gráfico o una descripción verbal. Véase formas de representar una función.

El dominio y el rango de una función pueden ser cualesquiera conjuntos de objetos, pero en matemáticas, especialmente en cálculo, suelen ser conjuntos de números reales. A las funciones de este tipo se les llama funciones reales de variable real.

Simbología

Las funciones se denotan habitualmente con el símbolo f(x), donde f es el nombre de la función y x es el valor de entrada. En contextos diferentes de matemáticas suelen usarse para las funciones los símbolos como F, G, H, f, g, h, p, q, etc. Para las variables dependientes o independientes se utilizan las letras minúsculas r, s, t, u, v, w, x, y, z.

Así, una función podría escribirse como w=G(z) o v=h(t). Por ejemplo, en la función *A=π r^2* identificamos que la variable independiente es r y la dependiente es A. 

La simbología habitual utilizada en análisis matemático para explicitar el dominio y el codominio es:

*f: A → B \\ \hspace{9mm} x→f(x)*

que se lee como "f es una función definida de A en B, al elemento x le corresponde f(x)".

Por ejemplo, la función *f(x)=x^2* se expresa así:

*f: \mathbb{R} → \mathbb{R} \\ \hspace{6mm} x→x^2*

Ejemplos

A continuación, veremos algunos ejemplos de funciones matemáticas:

1. A todos los números reales no negativos se le puede extraer su raíz cuadrada. La función *f(x)=\sqrt{x}* toma un número x y devuelve su raíz cuadrada.
2. La función *y=x^2* relaciona a cada número real x con su cuadrado y.
3. La función *g(x)=|x|* asigna a cada número real su valor absoluto.
4. El área de un círculo depende de su radio. La fórmula *A=\pi r^2* nos da el área A de un círculo de radio r.
5. La función *y=\frac{1}{x}* hace corresponder a cada número real diferente de cero su inverso multiplicativo, también llamado recíproco.
6. La función *h(x)=\ln(x)* asigna a cada número real positivo x su logaritmo natural.
7. Todo número real posee una raíz cúbica, la función *y=\sqrt[3]{x}* relaciona a cada número x con su raíz cúbica y.
8. La función descrita por la fórmula *v=\cos(u)* asigna a cada número real u el valor de su coseno trigonométrico.
9. El área de un cuadrado depende de la longitud de su lado, así, si el lado es *x*, el área del cuadrado está dada por la función *A(x)=x^2.*
10. Todo número real tiene un doble, el cual se obtiene multiplicándolo por 2. La función *f(x)=2x* toma como entrada un número x y arroja como salida su doble.

Los siguientes son ejemplos de funciones que pueden o no estar dadas por una ecuación:

1. La temperatura a la que hierve el agua depende de la altura sobre el nivel del mar.
2. El precio de una casa depende de su distancia al centro de la ciudad.
3. El nivel de contaminación del aire depende del tráfico vehicular en una zona urbana.
4. El tiempo necesario para completar una tarea depende del nivel de experiencia del individuo.
5. El crecimiento de una planta depende de la disponibilidad de nutrientes en el suelo.
6. El número de especies de aves en un área depende del tipo de hábitat disponible.
7. La distancia que viaja un objeto desde un punto inicial a lo largo de una trayectoria recta depende de su velocidad.
8. La tasa de interés que se paga por una inversión depende de cuánto tiempo dure invertido el dinero.

Aquí hay algunos ejemplos de relaciones que no son funciones:

• La relación entre las coordenadas de los puntos (x, y) de una circunferencia de radio r está dada por la ecuación *x^2+y^2=r^2.* Esta ecuación no describe una función, porque no cumple con la unicidad. Por ejemplo, el valor *x=0* está relacionado con *y=r* e *y=-r* al mismo tiempo.
• La ecuación *x=y^2,* si consideramos a x como la variable independiente, no corresponde con una función por los mismos motivos que el ejemplo anterior.
• La relación "menor qué" *x<y* no es una función, porque un número x puede ser menor que muchos números y. Por ejemplo, *x=2* está relacionado con *y=3; y=3,5; y=10,* etc.
• La relación "y es múltiplo de x" no es una función, porque un número puede tener infinitos múltiplos.

Tipos de funciones

Las funciones se pueden clasificar según diferentes criterios, los más habituales son según la relación entre sus elementos y según la regla de definición.

Según relación entre sus elementos

Para esta clasificación nos basamos en la relación entre los elementos del dominio, codominio y rango.

• Funciones inyectivas: son aquellas donde no hay dos elementos distintos del dominio que tengan la misma imagen.
• Funciones sobreyectivas: son aquellas donde el codominio es igual al rango.
• Funciones biyectivas: son aquellas que son inyectivas y sobreyectivas a la vez.

Más información sobre funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

Según la regla de definición

Para esta clasificación nos basamos en la ecuación o fórmula que define a la función.

• Funciones algebraicas: son aquellas que pueden obtenerse a partir de funciones polinómicas por suma, resta, multiplicación, división, potenciación o radicación. En este grupo tenemos a las funciones lineales, constantes, cuadráticas, cúbicas, racionales, irracionales, entre otras.
• Funciones trascendentes: son aquellas que no se pueden obtener mediante operaciones elementales de funciones polinómicas y trascienden al campo del álgebra. En este grupo tenemos a las funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas.

Otras formas de clasificar funciones son: según su simetría en pares o impares, según su periodicidad en periódicas o no periódicas, según su continuidad en continuas o no continuas, según su monotonía en crecientes o decrecientes, etc.

Definición formal de función

Desde el álgebra se define a una función como un caso particular de una relación binaria entre conjuntos, donde no puede haber dos pares ordenados con la misma primera componente pero distintos en la segunda. Es decir, una función es un conjunto de pares ordenados (x, y) donde si (x, y) y (x, z) pertenecen a la función, entonces y=z.

Definición: f es una función de A en B si y solo si f es una relación de A en B que verifica las siguientes condiciones:

1. Postulado de existencia: cada elemento del conjunto A tiene un correspondiente en B. En símbolos: *\forall x \in A \ \exists y \in B / (x, y) \in f*
2. Postulado de unicidad: el correspondiente de un elemento del conjunto A es único. En símbolos: *(x, y) \in f \land (x,z) \in f → y=z*

Simbólicamente la unicidad se establece diciendo que, si un elemento de A tiene dos correspondientes, entonces esos correspondientes son iguales.

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