Ecuaciones irracionales

En este artículo explicamos los pasos para resolver ecuaciones irracionales con raíces de cualquier índice (cuadradas, cúbicas, etc.) de forma sencilla y veremos ejercicios resueltos.

Qué son las ecuaciones irracionales y cómo se resuelven

Una ecuación irracional es una ecuación algebraica donde al menos una incógnita aparece dentro de un radicando, es decir, bajo un signo radical. También son llamadas ecuaciones radicales. 

Ejemplo: *\sqrt{x+1}-7=2*

Para hallar la solución, con frecuencia elevamos ambos miembros a un mismo exponente positivo para usar la propiedad cancelativa de las raíces. La nueva ecuación contiene las soluciones de la ecuación original. Sin embargo, en algunos casos la nueva ecuación tiene más soluciones que la ecuación dada. Cualquier solución de la nueva ecuación que no sea una solución de la ecuación dada es llamada una solución extraña, espuria o falsa.

Sabiendo que pueden presentarse soluciones extrañas, es esencial comprobar todas las soluciones obtenidas después de elevar ambos lados de una ecuación a un exponente par. Estas comprobaciones no son necesarias si ambos lados se elevan a un exponente impar, porque en este caso las soluciones falsas no se introducen. 

Ecuaciones con raíces cuadradas

Ejemplo 1 (un radical): *\sqrt{x+1}-7=2*

Es conveniente aislar la raíz cuadrada en el primer miembro sumando *7* a ambos lados:

*\sqrt{x+1}=2+7*

*\sqrt{x+1}=9*

Ahora elevamos al cuadrado ambos lados y, como se eliminó la raíz, la ecuación es de primer grado y se resuelve como es habitual:

*(\sqrt{x+1})^2=9^2*

*x+1=81*

Las solución de esta nueva ecuación es *x=81-1=80*

Comprobamos que esta solución es verdadera reemplazando en la expresión original y verificamos si se cumple la igualdad.

Si *x=80→\sqrt{x+1}-7=\sqrt{80+1}-7=\sqrt{81}-7=9-7=2*

Se cumple la igualdad, por tanto *x=81* es la solución de la ecuación. El conjunto solución es *S=\{81\}*

Ejemplo 2 (un radical): *\sqrt{x-1}=x-7*

Elevamos ambos miembros al cuadrado, para desarrollar será necesario usar la fórmula del cuadrado de un binomio:

*(\sqrt{x-1})^2=(x-7)^2*

*x-1=x^2-14x+49*

*x^2-14x+49-x+1=0*

*x^2-15x+50=0*

Usando la fórmula resolvente para ecuaciones de segundo grado, llegamos a: *x=10* o *x=5*

Comprobación:

Si *x=10:*

*\sqrt{x-1}=\sqrt{10-1}=\sqrt{9}=3*

*x-7=10-7=3*

Los resultados coindiden, por tanto, *x=3* es una solución.

Si *x=5*

*\sqrt{x-1}=\sqrt{5-1}=\sqrt{4}=2*

*x-7=5-7=-2*

Los resultados no coinciden, por tanto, se descarta esta solución. El conjunto solución de la ecuación inicial es *S=\{3\}*

Ejemplo 3 (dos radicales): *\sqrt{3-3x}-\sqrt{3x+2}=0*

*\sqrt{3-3x}=\sqrt{3x+2}*

*(\sqrt{3-3x})^2=(\sqrt{3x+2})^2*

*3-3x=3x+2*

*3-3x-3x-2=0*

*-6x+1=0*

*x=\dfrac{1}{6}*

Comprobación:

Si *x=\dfrac{1}{6}*

*\sqrt{3-3x}-\sqrt{3x+2}=\sqrt{3-3\cdot \dfrac{1}{6}}-\sqrt{3\cdot \dfrac{1}{6}+2}=\sqrt{\dfrac{5}{2}}-\sqrt{\dfrac{5}{2}}=0*

La igualdad se cumple, por tanto, *x=\dfrac{1}{6}* es una solución verdadera. *S=\left\{\dfrac{1}{6}\right\}*

Ejemplo 4 (dos radicales): *\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+2}=2*

*\sqrt{2x+3}=\sqrt{x+2}+2*

*(\sqrt{2x+3})^2=(\sqrt{x+2}+2)^2*

*2x+3=(\sqrt{x+2})^2+4\sqrt{x+2}+4*

*2x+3=x+2+4\sqrt{x+2}+4*

*2x+3=x+6+4\sqrt{x+2}*

Como la ecuación todavía contiene un radical, se aísla en un lado y de nuevo se elevan al cuadrado ambos lados.

*x-3=4\sqrt{x+2}*

*(x-3)^2=16(x+2)*

*x^2-6x+9=16x+32*

*x^2-22x-23=0*

Las soluciones de esta última ecuación son *x=23* y *x=-1*

Comprobación:

*x=23: \sqrt{2x+3}-\sqrt{x+2}=\sqrt{2(23)+3}-\sqrt{23+2}=\sqrt{49}-\sqrt{25}=7-5=2*

*x=-1: \sqrt{2x+3}-\sqrt{x+2}=\sqrt{2(-1)+3}-\sqrt{-1+2}=\sqrt{1}-\sqrt{1}=1-1=0*

La ecuación tiene solo una solución, *x=23;* la otra solución es extraña. *S=\{23\}*

Los mismos principios se aplican al caso de tener tres o más radicales en la expresión.

Ecuaciones con raíces cúbicas

Nótese que se eliminó el paso de la comprobación. Como dijimos al principio, en los casos de elevar a un exponente impar, no aparecen nuevas soluciones.

Ejemplo 1: *\sqrt[3]{x^2-1}=2*

Elevamos al cubo ambos lados y desarrollamos hasta encontrar la solución.

*(\sqrt[3]{x^2-1})^3=2^3*

*x^2-1=8*

*x^2=9*

*x=±3*

Entonces, las soluciones de la ecuación dada son *3* y *-3.* La comprobación no es necesaria, aunque puede hacerse para detectar errores de cálculo.

Ejemplo 2: *\sqrt[3]{2x+7}-\sqrt[3]{x+1}=0*

*\sqrt[3]{2x+7}=\sqrt[3]{x+1}*

*(\sqrt[3]{2x+7})^3=(\sqrt[3]{x+1})^3*

*2x+7=x+1*

*2x-x=1-7*

*x=-6*

La ecuación tiene entonces una única solución: *-6*

Ecuaciones con raíces de cualquier índice

Cuando los radicales son de índices más altos, se continúa usando el mismo principio que hasta ahora. Es importante siempre comprobar los resultados obtenidos cuando se realizó la elevación a un exponente par.

Si en la ecuación aparecen radicales de diferente índice, es necesario homogeneizarlos, algo que vemos en detalle en la multiplicación de radicales de distinto índice. Si hay fracciones, se procede como en las demás ecuaciones.

Ejemplo 1: *\sqrt[4]{12+2x}=2*

Elevamos a la cuarta ambos miembros y desarrollamos:

*(\sqrt[4]{12+2x})^4=2^4*

*12+2x=16*

*x=2*

Comprobando, la solución *2* es verdadera. *\sqrt[4]{12+2(2)}=\sqrt[4]{16}=2*

Ejemplo 2: *\dfrac{\sqrt[3]{x^2+x}}{\sqrt{(x+1)^3}}=\sqrt{(x+1)^3}*

Se escribe la ecuación de forma conveniente y se multiplican los radicales:

*\sqrt[3]{x^2+x}=\sqrt{(x+1)^3}\cdot \sqrt{(x+1)^3}*

*\sqrt[3]{x^2+x}=\sqrt{(x+1)^6}*

Se escribe la raíz como exponente racional para simplificar más fácil y se llega a que los índices son iguales:

*\sqrt[3]{x^2+x}=(x+1)^{2/6}*

*\sqrt[3]{x^2+x}=(x+1)^{1/3}*

*\sqrt[3]{x^2+x}=\sqrt[3]{x+1}*

Se elevan al cubo ambos miembros y se desarrolla:

*(\sqrt[3]{x^2+x})^3=(\sqrt[3]{x+1})^3*

*x^2+x=x+1*

*x^2=1*

*x=±1*

Al ser un índice impar, no es necesario realizar comprobación.

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