División de fracciones

En este artículo explicamos la división de fracciones. Veremos una guía completa con fórmulas, explicaciones, propiedades y ejercicios resueltos paso a paso. 

Qué es la división de fracciones

La división de fracciones es una operación matemática que se utiliza para encontrar el cociente entre dos fracciones. Consiste en calcular cuántas veces una fracción (dividendo) está contenida en otra fracción (divisor).

La división de dos fracciones es una nueva fracción que resulta de multiplicar el dividendo por el inverso del divisor.

*\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{d}{c}=\dfrac{a\cdot d}{b\cdot c}*

Recordemos que la fracción inversa de una fracción es otra fracción que resulta de cambiar los órdenes del numerador y el denominador. O sea, la fracción inversa de *\dfrac{a}{b}* es *\dfrac{b}{a}.*

Como dividir fracciones

Veremos diferentes formas de resolver la operación de división. Es importante destacar que la forma de dividir no cambia cuando las fracciones tienen igual o diferente denominador, como sí ocurre con la suma y la resta. También hay que tener en cuenta la regla de los signos.

Dividir multiplicando por la inversa

Este método consiste en los siguientes pasos:

  1. Cambiar el signo de división por el de multiplicación.
  2. Cambiar el orden de numerador y denominador de la segunda fracción.
  3. Multiplicar las dos fracciones y simplificar si es posible.

*\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{d}{c}=\dfrac{a\cdot d}{b\cdot c}*

Ejemplos:

*\dfrac{3}{4}:\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{5}{2}=\dfrac{3\cdot 5}{4\cdot 2}=\dfrac{15}{8}*

*-\dfrac{6}{7}:\dfrac{16}{17}=-\dfrac{6}{7}\cdot \dfrac{17}{16}=-\dfrac{102}{112}=-\dfrac{51}{56}*

Dividir multiplicando cruzado

Este método consiste en obtener el resultado de la división multiplicando los términos de ambas fracciones de manera cruzada. Esto es: el numerador de la primera fracción por el denominador y de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda. Luego, simplificamos el resultado si es posible. 

División de fracciones multiplicando cruzado

Ejemplos:

*\dfrac{20}{21}:\dfrac{5}{8}=\dfrac{20\cdot 8}{21\cdot 5}=\dfrac{160}{105}=\dfrac{32}{21}*

*\dfrac{14}{2}:\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{14\cdot 2}{2\cdot 1}=-\dfrac{28}{2}=-14*

Fracción sobre otra fracción

Cuando tenemos una fracción sobre otra fracción, podemos aplicar la ley de extremos y medios, también conocida como ley de la oreja o regla del sándwich. Esta ley dice que el resultado de la operación es el producto de los extremos dividido por el producto de los medios. Los extremos son los números superior e inferior, y los medios son los números interiores. 

Ley de extremos y medios, regla de sandwich, ley de la oreja. Fracción sobre otra fracción fórmula
Ley de extremos y medios

Ejemplos:

*\dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{1}{7}}=\dfrac{3\cdot 7}{4\cdot 1}=\dfrac{21}{4}*

*\dfrac{-\dfrac{8}{9}}{-\dfrac{2}{5}}=\dfrac{(-8)\cdot (-5)}{9\cdot 2}=\dfrac{40}{18}=\dfrac{20}{9}*

Como dividir una fracción entre un número entero

Cuando tenemos una división de una fracción por un número entero, podemos convertir el número entero en una fracción con denominador 1, y luego aplicar cualquiera de los métodos anteriores. 

*\dfrac{a}{b}:k=\dfrac{a}{b}:\dfrac{k}{1}=\dfrac{a}{bk}*

*k* es un número entero.

Ejemplo:

*\dfrac{2}{7}:3=\dfrac{2}{7}:\dfrac{3}{1}=\dfrac{2\cdot 1}{7\cdot 3}=\dfrac{2}{21}*

Cómo dividir un entero entre una fracción

Cuando tenemos una división de un número entero por una fracción, podemos convertir ese entero en una fracción con denominador 1, y luego aplicar cualquiera de los métodos anteriores.

*k:\dfrac{a}{b}=\dfrac{k}{1}:\dfrac{a}{b}=\dfrac{kb}{a}*

*k* es un entero.

Ejemplo:

*5:\dfrac{1}{9}=\dfrac{5}{1}:\dfrac{1}{9}=\dfrac{5\cdot 9}{1\cdot 1}=\dfrac{45}{1}=45*

Divisiones sucesivas

Cuando tenemos una cadena de divisiones de fracciones, podemos resolverla dividiendo la primera fracción por la segunda, luego el resultado dividirlo por la tercera, y así sucesivamente hasta llegar a la última.

Ejemplo:

*\dfrac{2}{3}:\dfrac{1}{2}:\dfrac{5}{4}=\left(\dfrac{2}{3}:\dfrac{1}{2}\right):\dfrac{5}{4}*

*=\dfrac{4}{3}:\dfrac{5}{4}*

*=\dfrac{16}{15}*

Propiedades de la división

  1. No es conmutativa: el orden de los factores sí altera el resultado.
  2. No es asociativa: el resultado puede variar según cómo se agrupen los factores.

Preguntas frecuentes

¿Cómo dividir fracciones?

Para dividir fracciones, se multiplica la primera fracción (dividendo) por el inverso multiplicativo de la segunda fracción (divisor). Es decir, se invierte la segunda fracción y se multiplica.

¿Cómo se dividen fracciones con igual o diferente denominador?

Para dividir fracciones, no importa si los denominadores son iguales o distintos, el procedimiento es el mismo: se invierte el divisor y se multiplica por el dividendo.

¿Cómo se divide una fracción entre un número entero?

Para dividir una fracción entre un número entero, el número entero se convierte en una fracción con denominador 1 y luego se aplica el procedimiento de división de fracciones.

¿Qué sucede cuando se divide una fracción entre cero?

La división de cualquier número entre cero no está definida en matemáticas. Por lo tanto, no tiene un valor definido y se considera una operación indefinida.

¿Cuál es la relación entre la división de fracciones y la multiplicación de fracciones?

La división de fracciones es similar a la multiplicación de fracciones, ya que invertir y multiplicar la segunda fracción es equivalente a multiplicar por el inverso multiplicativo de esa fracción. En otras palabras, la división de fracciones se transforma en una multiplicación por el inverso del divisor.

División de fracciones ejemplos
Dividir un entero por una fracción
Dividir una fracción entre un número entero
Fracción sobre otra fracción

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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