Ecuaciones logarítmicas
En este artículo explicamos qué son y cómo resolver ecuaciones con logaritmos de igual base y de distintas bases con ejercicios resueltos paso a paso.
Índice
¿Qué son las ecuaciones logarítmicas?
Las ecuaciones logarítmicas son aquellas donde la incógnita se encuentra dentro del argumento de uno o varios logaritmos.
Podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones logarítmicas: simples, donde solo hay un logaritmo en la ecuación; compuestas, donde hay más de un logaritmo; ecuaciones con logaritmos de igual base y con logaritmos de distintas bases.
Algunos ejemplos son:
*\log_2(x+3)=2*
*\log_4(4x-3x)-3=0*
*\log_4 x=2+\log_{16} x*
*2\log_3 (x)=2+2 \log_9 (2x-9)*
Las ecuaciones mostradas en los ejemplos y otras más se resolverán en este artículo. Si buscas ecuaciones donde la incógnita está en la base de un logaritmo, revisa el siguiente artículo:
¿Cómo se resuelven?
Resolver una ecuación logarítmica consiste en encontrar el valor de la incógnita que hace que la igualdad se verifique. Para despejar la incógnita dentro del logaritmo podemos aprovechar las propiedades de los logaritmos para modificar la expresión hasta convertirla en una ecuación algebraica común.
Una vez encontrados el o los valores posibles para la incógnita hay que comprobar que dicha solución no hace que el argumento de algún logaritmo sea negativo o cero. Es importante conocer la definición de logaritmo y sus propiedades:
Definición de logaritmo: *\log_b{a}=x~~* si y sólo si *~~b^x=a*
Propiedades:
- Logaritmo de 1: *\log_b(1)=0*
- Logaritmo de la base: *\log_b(b)=1*
- Logaritmo como exponente: *b^{\log_b{a}}=a*
- Logaritmo de una potencia de la base: *\log_b(b^n)=n*
- Logaritmo de un producto: *\log_b (xy)=\log_b(x)+\log_b(y)*
- Logaritmo de un cociente: *\log_b (x/y)=\log_b(x)-\log_b(y)*
- Logaritmo de una potencia: *\log_b (a^n)=n\cdot \log_b(a)*
- Cambio de base: *\log_b(a)=\dfrac{\log_k(a)}{\log_k(b)}*
Ejercicios resueltos
A continuación resolveremos paso a paso algunas ecuaciones con logaritmos yendo desde las más sencillas hasta las más complicadas. Se debe recordar que cuando la base no se escribe, el logaritmo es decimal (base 10) y ln significa logaritmo natural (su base es e).
Logaritmos con la misma base
Las siguientes ecuaciones contienen uno o varios logaritmos con bases iguales y se resolverán paso a paso.
Ejercicio 1
Resolver la ecuación *\log_2(x+3)=2*
Solución: podemos despejar la x del logaritmo usando la propiedad *b^{\log_b{a}}=a.* Para esto, consideramos a ambos miembros de la ecuación como exponentes de una potencia de base 2, porque tenemos un logaritmo binario. Así, se eliminará el logaritmo y la ecuación será algebraica.
*\log_2(x+3)=2*
*2^{\log_2(x+3)}=2^2*
*x+3=2^2*
*x+3=4*
*x=4-3*
*x=1*
Comprobación:
Si x=1, entonces:
*\log_2(1+3)=2*
*\log_2(4)=2*
*2=2*
Ejercicio 2
Resolver la ecuación logarítmica *\log_4(4x-3x)-3=0*
Solución: esta ecuación está igualada a cero, para resolverla primero dejamos aislado al logaritmo en uno de los miembros y realizamos el mismo proceso que en el ejemplo anterior, teniendo en cuenta que ahora se debe usar base 4.
*\log_4(4x-3x)-3=0*
*\log_4(4x-3x)=3*
*4^{\log_4(4x-3x)}=4^3*
*4x-3x=4^3*
*x=64*
Comprobación:
Si x=64, entonces:
*\log_4(4\cdot 64-3\cdot 64)-3=0*
*\log_4(64)-3=0*
*3-3=0*
*0=0*
Ejercicio 3
Solucionar la ecuación *\log_5(x^2-11)=2*
Solución: aplicamos el mismo método que antes. La ecuación algebraica resultante será cuadrática y tendrá dos soluciones posibles. Es necesario comprobar si las dos son válidas o solo una de ellas lo es.
*\log_5(x^2-11)=2*
*5^{\log_5(x^2-11)}=5^2*
*x^2-11=25*
*x^2=25+11*
*x^2=36*
*x=±\sqrt{36}*
*x=±6*
Las soluciones posibles son *x=6* y *x=-6.*
Comprobación:
1) Si x=6, entonces:
*\log_5((6)^2-11)=2*
*\log_5(36-11)=2*
*\log_5(25)=2*
*2=2*
2) Si x=-6, entonces:
*\log_5((-6)^2-11)=2*
*\log_5(36-11)=2*
*\log_5(25)=2*
*2=2*
Por lo tanto, las dos soluciones son válidas.
Ejercicio 4
Encuentre el valor de x en *\log_6(5x-9)^2=4*
Solución: aplicamos el mismo proceso que antes usando potencias de base 6 debido a la base del logaritmo.
*\log_6(5x-9)^2=4*
*6^{\log_6(5x-9)^2}=6^4*
*(5x-9)^2=6^4*
*(5x-9)^2=1296*
En este punto tenemos varios caminos posibles: podemos primero desarrollar el binomio y luego usar la fórmula resolvente para ecuaciones cuadráticas o despejar con cuidado el cuadrado del primer miembro. Tomaremos el segundo camino:
*5x-9=±\sqrt{1296}*
*5x-9=±36*
*5x=9±36*
*x=\dfrac{9±36}{5}*
Ahora extraemos las dos soluciones posibles considerando +36 y -36:
*x_1=\dfrac{9+36}{5}=\dfrac{45}{5}=9*
*x_2=\dfrac{9-36}{5}=-\dfrac{27}{5}*
Comprobación:
1) Si *x=9,* entonces:
*\log_6(5(9)-9)^2=4*
*\log_6(36)^2=4*
*\log_6(1296)=4*
*4=4*
2) Si *x=\dfrac{27}{5},* entonces:
*\log_6(5(-\frac{27}{5})-9)^2=4*
*\log_6(-27-9)^2=4*
*\log_6(-36)^2=4*
*\log_6(1296)=4*
*4=4*
Conclusión: los dos valores de x encontrados son soluciones para la ecuación logarítmica.
Ejercicio 5
Resolver la ecuación *\log_5(2x+4)=\log_5(3x-6)*
Solución: en este caso tenemos una igualdad de logaritmos. Si dos logaritmos de la misma base son iguales, entonces sus argumentos deben ser iguales. En base a este hecho reformulamos la ecuación.
*\log_5(2x+4)=\log_5(3x-6)*
*2x+4=3x-6*
*2x-3x=-6-4*
*-x=-10*
*x=10*
Comprobación: si *x=10,* entonces
*\log_5(2(10)+4)=\log_5(3(10)-6)*
*\log_5(24)=\log_5(24)*
Ejercicio 6
Hallar la solución de la ecuación *\log_4 \sqrt{15x+1}=2*
Solución: esta ecuación logarítmica contiene radicales, la forma de resolverla es igual a la aplicada anteriormente.
*\log_4 \sqrt{15x+1}=2*
*4^{\log_4 \sqrt{15x+1}}=4^2*
*\sqrt{15x+1}=4^2*
*\sqrt{15x+1}=16*
Para despejar la raíz, elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación:
*(\sqrt{15x+1})^2=16^2*
*15x+1=256*
*15x=256-1*
*15x=255*
*x=\dfrac{255}{15}*
*x=17*
Comprobación: si *x=17,* entonces
*\log_4 \sqrt{15 (17)+1}=2*
*\log_4 \sqrt{256}=2*
*\log_4 16=2*
*2=2*
Ejercicio 7
Resolver *\log \sqrt{x^2+19}=1*
Solución: esta ecuación también contiene una raíz cuadrada en el argumento. Para despejar la incógnita seguimos un proceso similar al del ejercicio anterior. En este caso, como el logaritmo es decimal (log), usamos de base al número 10.
*\log \sqrt{x^2+19}=1*
*10^{\log \sqrt{x^2+19}}=10^1*
*\sqrt{x^2+19}=10*
*(\sqrt{x^2+19})^2=10^2*
*x^2+19=100*
*x^2=100-19*
*x^2=81*
*x=±\sqrt{81}*
*x=±9*
Comprobación: como la incógnita está elevada al cuadrado, es igual si usamos el valor positivo o negativo.
*\log \sqrt{(±9)^2+19}=1*
*\log \sqrt{81+19}=1*
*\log \sqrt{100}=1*
*\log 10=1*
*1=1*
Ejercicio 8
Resolver la ecuación *\dfrac{\log(16-x^2)}{\log (3x-4)}=2*
Solución: esta ecuación contiene una expresión fraccionaria que podemos reescribir multiplicando ambos miembros por el denominador, en otras palabras, despejando el numerador.
*\dfrac{\log(16-x^2)}{\log (3x-4)}=2*
*\log(16-x^2)=2\log (3x-4)*
Esta no es una igualdad de logaritmos, pero podemos convertirla en una aplicando la propiedad de logaritmo de una potencia. De este modo, el 2 que multiplica al segundo miembro sube como un exponente. Luego, procedemos como es habitual igualando los argumentos.
*\log(16-x^2)=\log (3x-4)^2*
*16-x^2=(3x-4)^2*
*16-x^2=(3x)^2+2\cdot 3x\cdot (-4)+(-4)^2*
*16-x^2=9x^2-24x+16*
*-x^2-9x^2+24x=0*
*-10x^2+24x=0*
En este punto podríamos usar la fórmula resolvente para la ecuación cuadrática, pero también podemos sacar factor común x y aplicar la propiedad del producto nulo.
*-10x^2+24x=0*
*x(-10x+24)=0*
Las soluciones posibles son: *x=0~~* o *~~-10x+24=0→-10x=-24→x=\dfrac{12}{5}*
La solución *x=0* no tiene sentido en la ecuación porque quedaría *\dfrac{\log(16)}{\log (-4)}=2,* pero no existe el logaritmo de un número negativo.
Reemplazando la solución *x=\dfrac{12}{5}* se tiene que:
*\dfrac{\log(16-(\frac{12}{5})^2)}{\log (3(\frac{12}{5})-4)}=2*
*\dfrac{\log(10,24)}{\log (3,2)}=2*
*2=2*
Por lo tanto, *x=\dfrac{12}{5}* es la solución de la ecuación.
Ejercicio 9
Resuelva *\log_7 (x+9)+\log_7 (49)=4*
Solución: en este caso podemos aplicar propiedades de la logaritmación para reescribir la suma de logaritmos como el logaritmo de un producto. Luego, se resuelve como es habitual.
*\log_7 (x+9)+\log_7 (49)=4*
*\log_7((x+9)\cdot 49)=4*
*\log_7(49x+441)=4*
*7^{\log_7(49x+441)}=7^4*
*49x+441=2401*
*49x=2401-441*
*49x=1960*
*x=40*
Comprobación: si *x=40,* entonces
*\log_7 (40+9)+\log_7 (49)=4*
*\log_7 (49)+\log_7 (49)=4*
*2+2=4*
*4=4*
Ejercicio 10
Resolver la ecuación *\log x=\log 102-\log 34*
Solución: la ecuación logarítmica puede reescribirse usando propiedades para convertir la resta de logaritmos en el logaritmo de un cociente. Luego, se igualan los argumentos.
*\log x=\log 102-\log 34*
*\log x=\log\left(\dfrac{102}{34}\right)*
*\log x=\log 3*
*x=3*
Ejercicio 11
Encuentre la solución a la ecuación *\log x=3 \log 2-2\log 3*
Solución: este caso es similar al anterior, pero también será necesario usar la propiedad de la potencia para subir los coeficientes como exponentes.
*\log x=3 \log 2-2\log3*
*\log x=\log 2^3-\log3^2*
*\log x=\log 8-\log9*
*\log x=\log\left(\dfrac{8}{9}\right)*
*x=\dfrac{8}{9}*
Ejercicio 12
Resolver *\ln(x+3)+\ln(x+1)=\ln(8)*
Solución: podemos usar la propiedad de la suma de logaritmos para reescribir el primer miembro. En este caso se está trabajando con logaritmos naturales (de base e).
*\ln(x+3)+\ln(x+1)=\ln(8)*
*\ln((x+3)(x+1))=\ln(8)*
*(x+3)(x+1)=8*
Aplicamos la propiedad distributiva para desarrollar el primer miembro.
*x^2+x+3x+3=8*
*x^2+4x+3-8=0*
*x^2+4x-5=0*
Ahora podemos aplicar la fórmula resolvente para solucionar la ecuación cuadrática.
*x=\dfrac{-4±\sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2}*
*=\dfrac{-4±\sqrt{36}}{2}*
*=\dfrac{-4±6}{2}*
Entonces, *x=\dfrac{-4+6}{2}=1~~* o *~~x=\dfrac{-4-6}{2}=-5.*
La solución *x=-5* no tiene sentido porque al reemplazar en la ecuación queda *\ln(0)+\ln(-4)=\ln(8),* pero no existen logaritmos de números negativos ni de cero.
Si *x=1,* entonces:
*\ln(1+3)+\ln(1+1)=\ln(8)*
*\ln(4)+\ln(2)=\ln(8)*
*\ln(8)=\ln(8)* (por propiedades del logaritmo).
Entonces, *x=1* es la solución de la ecuación logarítmica.
Ejercicio 13
Resolver la ecuación *\ln(x^2-1)=0*
Solución: en este caso tenemos un logaritmo igualado a cero. Podemos usar la propiedad de los logaritmos que nos dice que solo el logaritmo de 1 es cero. Por tanto, lo que está dentro del argumento debe ser igual a 1:
*\ln(x^2-1)=0*
*x^2-1=1*
*x^2=1+1*
*x^2=2*
*x=±\sqrt{2}*
Se puede comprobar que tanto la solución positiva como negativa son válidas porque la incógnita está elevada al cuadrado.
Ejercicio 14
Resuelva la ecuación *\log 3^x=2*
Solución: la incógnita se encuentra en el exponente del argumento. Podríamos resolver como los primeros casos pero un camino más sencillo es usar propiedades para “bajar” ese exponente y despejarlo:
*\log 3^x=2*
*x\log 3=2*
*x=\dfrac{2}{\log3}≈4,19*
Ejercicio 15
Resuelva la ecuación *\log_{1/2}(5(x-1))=3*
Solución: este caso no es diferente de los primeros salvo por la base fraccionaria. Para remover el logaritmo usamos de base a 1/2.
*\log_{1/2}(5(x-1))=3*
*(1/2)^{\log_{1/2}(5(x-1))}=(1/2)^3*
*5(x-1)=\dfrac{1}{2^3}*
*5x-5=\dfrac{1}{8}*
*5x=\dfrac{1}{8}+5*
*x=\dfrac{41/8}{5}*
*x=\dfrac{41}{40}*
Logaritmos con distintas bases
Los siguientes ejercicios corresponden a ecuaciones donde aparecen varios logaritmos con bases diferentes. El método de solución consistirá en usar la propiedad del cambio de base para que todas las bases sean iguales y luego resolver como en los ejercicios anteriores.
Ejercicio 1
Resolver la ecuación *\log_4 x=2+\log_{16} x*
Solución: podemos comenzar dejando en un solo miembro los logaritmos.
*\log_4 x=2+\log_{16} x*
*\log_4 x-\log_{16} x=2*
No podemos aplicar la propiedad de resta de logaritmos porque no tienen la misma base. Sin embargo, podemos hacer que tengan igual base, ya sea que los dos tengan base 4, base 6 u otro número. Por conveniencia, haremos que el logaritmo de base 16 pase a tener base 4 usando la fórmula del cambio de base:
*\log_{16} x=\dfrac{\log_4x}{\log_4 16}=\dfrac{\log_4x}{2}*
Reemplazando en la ecuación original:
*\log_4 x-\dfrac{\log_4x}{2}=2*
El 2 que está dividiendo al segundo término puede subirse como un exponente del argumento del logaritmo:
*\log_4 x-\dfrac{1}{2}\log_4 x=2*
*\log_4 x-\log_ 4 x^{1/2}=2*
Ahora sí podemos usar la propiedad de la resta de logaritmos porque ambos tienen la misma base.
*\log_4 \left(\dfrac{x}{x^{1/2}}\right)=2*
Ahora aplicamos propiedades de las potencias para reescribir el argumento y luego eliminamos el logaritmo con una base 4.
*\log_4 (x^{1-1/2})=2*
*\log_4 (x^{1/2})=2*
*4^{\log_4 (x^{1/2})}=4^2*
*x^{1/2}=16*
Teniendo en cuenta que el exponente 1/2 es equivalente a una raíz cuadrada, podemos despejarla elevando al cuadrado ambos miembros.
*\sqrt{x}=16*
*x=16^2*
*x=256*
Comprobación: si *x=256,* entonces,
*\log_4 256=2+\log_{16} 256*
*4=2+2*
*4=4*
Ejercicio 2
Resuelva la ecuación logarítmica *2\log_3 (x)=2+2 \log_9 (2x-9)*
Solución: comenzamos moviendo todos los términos con logaritmo a un lado de la ecuación, luego usamos la fórmula del cambio de base para convertir el logaritmo de base 9 en base 3.
*2\log_3 (x)=2+2 \log_9 (2x-9)*
*2\log_3 (x)-2 \log_9 (2x-9)=2*
Por propiedad del cambio de base, *\log_9 (2x-9)=\dfrac{\log_3 (2x-9)}{\log_3 9}=\dfrac{\log_3 (2x-9)}{2},* reemplazando en la ecuación:
*2\log_3 (x)-2 \dfrac{\log_3 (2x-9)}{2}=2*
*2\log_3 (x)-\log_3 (2x-9)=2*
Ahora, por propiedad del logaritmo de una potencia y de un cociente, podemos reescribir el primer miembro y luego eliminar el logaritmo.
*\log_3 (x^2)-\log_3 (2x-9)=2*
*\log_3 \left(\dfrac{x^2}{2x-9}\right)=2*
*3^{\log_3 \left(\dfrac{x^2}{2x-9}\right)}=3^2*
*\dfrac{x^2}{2x-9}=9*
*x^2=9(2x-9)*
*x^2=18x-81*
*x^2-18x+81=0*
Usando la fórmula resolvente para la ecuación cuadrática:
*x=\dfrac{18±\sqrt{(-18)^2-4\cdot 1\cdot 81}}{2}*
*x=\dfrac{18±0}{2}*
*x=9*
Comprobación: si *x=9,* entonces
*2\log_3 (9)=2+2 \log_9 (2(9)-9)*
*2\cdot 2=2+2\log_9 (9)*
*4=2+2*
*4=4*
Ejercicio 3
Resolver la ecuación *2 \log_2(x+1)-\log_4(x+1)=1*
Solución: utilizamos la propiedad del cambio de base, de la potencia y del cociente para reescribir el primer miembro de la ecuación.
Por cambio de base: *\log_4(x+1)=\dfrac{\log_2 (x+1)}{\log_2 4}=\dfrac{1}{2}\log_2 (x+1),* reemplazando en la ecuación:
*2 \log_2(x+1)-\dfrac{1}{2}\log_2 (x+1)=1*
*\log_2 (x+1)^2-\log_2 (x+1)^{1/2}=1*
*\log_2 \left(\dfrac{(x+1)^2}{(x+1)^{1/2}}\right)=1*
*\log_2 (x+1)^{2-1/2}=1*
*\log_2 (x+1)^{3/2}=1*
*2^{\log_2 (x+1)^{3/2}}=2^1*
*(x+1)^{3/2}=2*
Podemos remover el exponente del primer miembro elevando ambos miembros a la potencia 2/3.
*((x+1)^{3/2})^{2/3}=2^{2/3}*
*(x+1)^{\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}}=2^{2/3}*
*x+1=2^{2/3}*
*x=2^{2/3}-1*
Como *2^{2/3}* es un número irracional equivalente a *\sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4},* conviene dejarlo escrito tal cual. Se puede hacer la siguiente aproximación al resultado:
*x=2^{2/3}-1≈0,59*
Ejercicio 4
Resolver la ecuación logarítmica *\log_2(x+1)=\log_4(x+3)*
Solución: se tiene una igualdad de logaritmos de distintas bases. Para poder hacer una igualación de argumentos, es necesario convertir los dos a la misma base.
Por propiedad del cambio de base: *\log_4(x+3)=\dfrac{\log_2 (x+3)}{\log_2 4}=\dfrac{\log_2 (x+3)}{2},* reemplazando en la ecuación original:
*\log_2(x+1)=\dfrac{\log_2 (x+3)}{2}*
*2\log_2(x+1)=\log_2 (x+3)*
*\log_2(x+1)^2=\log_2 (x+3)*
*(x+1)^2=x+3*
*x^2+2x+1=x+3*
*x^2+2x+1-x-3=0*
*x^2+x-2=0*
Por fórmula resolvente:
*x=\dfrac{-1±\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2}*
*x=\dfrac{-1±\sqrt{9}}{2}*
*x=\dfrac{-1±3}{2}*
Entonces: *x=\dfrac{-1+3}{2}=1~~* o *~~x=\dfrac{-1-3}{2}=-2*
Probamos las dos soluciones en la ecuación original y llegamos a la conclusión de que *x=-2* no tiene sentido porque haría que *\log_2(-1)=\log_4(1),* pero no existen logaritmos de números negativos. Por tanto, la solución es *x=1.*
Ejercicio 5
Resolver *\ln(x-2)=3-\log(x-2)*
Solución: primero pasamos todos los logaritmos a un mismo miembro, luego usamos la propiedad del cambio de base y procedemos a despejar la incógnita como en los casos anteriores.
*\ln(x-2)=3-\log(x-2)*
*\ln(x-2)+\log(x-2)=3*
Por cambio de base: *\log(x-2)=\dfrac{\ln (x-2)}{\ln 10}=\dfrac{1}{\ln 10}\ln (x-2),* reemplazando en la ecuación:
*\ln(x-2)+\dfrac{1}{\ln 10}\ln (x-2)=3*
*\ln(x-2)+\ln (x-2)^{1/\ln 10}=3*
*\ln[(x-2)(x-2)^{1/\ln 10}]=3*
*e^{\ln[(x-2)(x-2)^{1/\ln 10}]}=e^3*
*(x-2)(x-2)^{\frac{1}{\ln 10}}=e^3*
*(x-2)^{1+\frac{1}{\ln 10}}=e^3*
*x-2=(e^3)^{\frac{1}{1+\frac{1}{\ln 10}}}*
*x-2=e^{\frac{3}{1+\frac{1}{\ln 10}}}*
*x=e^{\frac{3}{1+\frac{1}{\ln 10}}}+2*
*x≈10,1*
